Intégrale de surface

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Posted by: nuigrave

Bonjour tout le monde,

je bloque sur une intégrale de surface. Je dois calculer l'intégrale suivante:
\iint_S \frac{cos(\phi) d\phi d\theta} {\mu_{100}+3(\mu_{111}-\mu_{100})(cos(\theta)^2sin(\theta)^2cos(\phi)^4+c os(\phi)^2sin(\phi)^2)}

Je dois intégrer cette formule sur une sphère unité, les bornes sont donc:
0 \le \theta \le 2\pi
-\frac{\pi}{2} \le \phi \le \frac{\pi}{2}

Une autre condition sur mes paramètres est:
\mu_{100} > 0
\mu_{111} > 0
Ce qui fait que le dénominateur reste positif dans tous les cas.

J'ai essayé d'intégrer une première fois par rapport à \theta mais la fonction à intégrer ensuite en \phi devient très compliquée (intégrale elliptique??). Pourtant une solution sous forme de fonctions simples doit exister (par analogie avec le résultat provenant de la mécanique; ici, le calcul est utilisé pour du magnétisme).

Comment dois-je m'y prendre pour réussir à intégrer de façon simple?

Merci pour votre aide


Posted by: jose_latino

En parlant strictement, ce ne s'agit pas d'une intégrale sur S sinon sur le rectangle \mathcal{R}=[0,2\pi]\times[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]. Parfois en physique, il s'utilse beaucoup les développements en séries de puissances, tu peux essayer avec:
\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+... , si |r|<1


Posted by: nuigrave

Merci jose_latino

En effet tu as raison, l'intégrale est maintenant sur un rectangle car j'ai déjà développé le dS=cos(\phi)d\phi d\theta pour la sphère unité (je sais, je n'ai pas pris les angles comme habituellement en sphérique ).

Pour le développement en séries de puissances, malheureusement je ne peux supposer que |\frac{\mu_{111}-\mu_{100}}{\mu_{100}}|<1 car je peux avoir par exemple \frac{\mu_{111}}{\mu_{100}}=3 .
Néanmoins, je peux essayer de traiter les cas où cette condition est valable, je vais regarder ce résultat.

As-tu une autre idée pour les autres cas?

Merci encore pour ta réponse


Posted by: jose_latino

L'intégrale par raport à \theta est possible, si tu utilises que \sin(2\theta)=2\cos(\theta)\sin(theta)










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