Mathématiques - Intégrale de sin(x) via calcul d'aire

Intégrale de sin(x) via calcul d'aire
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Posted by: Studenthec

Je cale un peu sur ce procédé en ce qui concerne les trigonométriques, j'ai réussi à faire toutes les autres fonctions mais les trigonométriques, ça coince.

Ce n'est évident pas le calcul des intégrales via les primitives (trop simple :P ) mais via un calcul d'aire... Je pose la méthode :

On partage [a;b] en n sous-intervalles par les points a = x(0) < x(1) < x(2) < ... < x(n) = b et on pose D(i) = x(i) - x(i-1).
On choisit, pour chaque i, u(i) appartenant à [x(i-1); x(i)]. Soit A(i) l'aire du ième rectangle : A(i) = D(i) . f(u(i)).
On somme ces aires : E(i=1 jusqu'à n) A(i) = E(i=1 jusqu'à n) D(i).f(u(i)).
On fait tendre n vers +infini avec tous les D(i) tendant vers 0 pour tout i.
Si f est intégrable sur [a;b] alors elle vaut lim(n->+infini) E(i=1 jusqu'à n) D(i).f(u(i)).

Et il faut calculer I(a à b) sin(x) dx.
On suppose évidemment qu'elle est intégrable (pas besoin de tester pour toutes les subdivisions possibles de l'ensemble [a;b]) et la suggestion de l'assistant était de choisir
u(i) = x(i)= a + i . (b-a)/n.

On commence donc par I(a à b) sin(x) dx = lim(n->+infini) E(i=1 jusqu'à n) (b-a)/n . sin(a + i . (b-a)/n)

J'arrive pas trop à commencer, je sais pas comment me débarasser de la somme :(

Merci à tous ceux qui pourront m'aider ^^

Posted by: tize

Je vais essayer de le faire dans un cas simple avec a=0 et b=1, tu pourras facilement compléter la démo pour le cas général :

$3$\frac{b-a}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\sin(a+k\frac{b-a}{n})=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\sin(\frac{ k}{n})$
ensuite, on utilise le fait que $\sin(\frac{k}{n})$ est la partie imaginaire de $\e(ik/n)$ et on calcule :
$3$\sum\limits_{k=0}^{n}\e(ik/n)= \frac{\e(i\frac{n+1}{n})-1}{\e(\frac{i}{n})-1} = \frac{\e(i\frac{n+1}{2n})}{\e(\frac{i}{2n})}\times \frac{\e(i\frac{n+1}{2n})-\e(-i\frac{n+1}{2n})}{\e(\frac{i}{2n})-\e(-\frac{i}{2n})} = \e(\frac{i}{2})\times\frac{\sin(\frac{n+1}{2n})}{ \sin( \frac{1}{2n} )}$
Donc :
$3$\sum\limits_{k=0}^{n}\sin(k/n) = \sin(1/2)\times\frac{\sin(1/2+\frac{1}{2n})}{\sin(\frac{1}{2n})}\;\sim\limits_ {n\to\infty}\;2n\times\sin^2(1/2)$
Donc :
$3$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n}\sin(\frac{k}{n} ) \longrightarrow\limits_{n\to\infty}\;2\sin^2(1/2)=1-\cos(1)$ ce qu'il fallait démontrer.
Il est facile de voir que le fait de commencer la somme à 0 ou 1 ne change pas le resultat et on peut généraliser le résultat avec $a\neq 0$ et $b\neq 1$
Bon courage