Sans se moquer, quelqu'un pourrait il me dire où est le truc pour
prouver ça:
Soit f \in L^1(µ) (pour une mesure µ sur un espace de mesure), montrer
que QQS eps > 0, EXI delta > 0 t.q. pour tout ensemble A mesurable, µ(A)
< delta => int_A (|f| dµ) < eps
Ca a l'air évident dit comme ça, mais j'arrive pas. Donc j'essaye de
majorer l'intégrale de |f| à partir de µ(A) < delta.
J'ai tenté de prendre le supremum sur les fonctions simples plus petite
que f et de majorer l'intégrale de toutes ces fonctions simples mais
j'arrive à rien : je majore par un truc qui dépend de la plus grande
valeur de la fonction simple, ce qui va pas marcher dès que |f| n'est
pas bornée.
Evidemment je dois utiliser quelque part que le supremum au départ est
fini, mais où? comment? Ca peut pas être dur, quand même, si?
--
Nico.
Posted by: Mehdi Tibouchi
Nicolas Richard <theonewiththeevillook@yahoo.fr> wrote:
> Sans se moquer, quelqu'un pourrait il me dire où est le truc pour
> prouver ça:
> Soit f \in L^1(µ) (pour une mesure µ sur un espace de mesure), montrer
> que QQS eps > 0, EXI delta > 0 t.q. pour tout ensemble A mesurable, µ(A)
> < delta => int_A (|f| dµ) < eps
Voici une piste, dont je pense qu'elle doit aboutir. Considère les
parties :
A_n = {x / 2^n <= |f(x)| < 2^{n+1}} pour n dans Z.
Alors tu dois pouvoir majorer l'intégrale par ce que tu obtiens en
remplaçant ton ensemble A par la réunion des A_n, n>=n_0, avec n_0
choisi maximal pour que la réunion soit de mesure plus grande que delta
(si c'est possible), et f par 2^{n+1} sur A_n, quelque chose comme ça.
Et comme on sait bien majorer la mesure des A_n...
--
M. Tibouchi <medtib@alussinan.org>
qui ne trouve pas ça trivial, en fait.
Posted by: Nicolas Richard
Mehdi Tibouchi a écrit :
> A_n = {x / 2^n <= |f(x)| < 2^{n+1}} pour n dans Z.
> Alors tu dois pouvoir majorer l'intégrale par ce que tu obtiens en
> remplaçant ton ensemble A par la réunion des A_n, n>=n_0, avec n_0
> choisi maximal pour que la réunion soit de mesure plus grande que delta
> (si c'est possible), et f par 2^{n+1} sur A_n, quelque chose comme ça.
> Et comme on sait bien majorer la mesure des A_n...
Merci de ton aide mais... j'ai pas trouvé. Je dois avouer que j'ai pas
bossé bcp ajd, voire même quasiment pas. Néanmoins j'ai pas trouvé ;o)
Déjà j'ai pas compris ton idée. Je veux bien écrire int_A |f| dµ <=
Sum_(n \in Z) [2^(n+1) µ(A_n)] mais déjà je n'arrive pas à expliciter
µ(A_n). Et puis je n'ai pas compris non plus cette idée de prendre une
réunion de mesure plus grande que delta.
Je rappelle l'énoncé (pas que tu ne l'ais pas compris mais euh... je le
rappelle, c'est tout ;)) :
On cherche à prouver qu'on peut rendre l'intégrale du module aussi
petite que voulue, quel que soit le domaine d'intégration, en posant
juste la condition que ce domaine soit de mesure plus petite que delta.
En rappelant que ce domaine est inclus dans un espace de mesure
quelconque (la mesure est quand même positive, je suis pas masochiste)
Par contre j'avais eu l'idée de procéder par l'absurde puis j'ai pas
abouti, je devrais peut être retenter? Le principe serait d'arriver à la
conclusion que int_A |f|µ = infini. Reste à trouver le détail :>
Bon je m'y remettrai correctement demain. a+
--
Nico.
Posted by: Mehdi Tibouchi
Nicolas Richard <theonewiththeevillook@yahoo.fr> wrote:
> Merci de ton aide mais... j'ai pas trouvé. Je dois avouer que j'ai pas
> bossé bcp ajd, voire même quasiment pas. Néanmoins j'ai pas trouvé ;o)
> Déjà j'ai pas compris ton idée.
En fait, exprimée plus directement, l'idée était la suivante : pour une
mesure delta donnée, on maximise l'intégrale en plaçant toute la masse
delta en les points où |f| est la plus grande possible. Mais
l'encadrement était une complication inutile. Voici une présentation de
la même idée, mais plus simple.
On note B_n l'ensemble des points où |f|>n. Comme f est finie presque
partout, B_n est une suite décroissante d'intersection de mesure nulle,
donc int_{B_n} |f| tend vers 0. Soit alors eps>0 quelconque, et N tel
que int_{B_N} |f| < eps. On pose alors delta = mu(B_N).
Soit A une partie mesurable quelconque de mesure < delta. Je dis que
int_A |f| < eps. Il suffit pour cela de vérifier que :
int_{A\B_N} |f| <= int_{B_N\A} |f|
Mais le premier membre est plus petit que
n*mu(A\B_N) <= n[delta - mu(B_N inter A)] = n*mu(B_N\A)
donc n*mu(A\B_N) <= int_{B_N\A} |f|, ce qui conclut.
--
M. Tibouchi <medtib@alussinan.org>
> Fra. Fairest Cordelia, that art most rich, being poore,
> Most choise, forsaken; and most lou'd, despis'd,
> Thee and thy vertues here I seize vpon. King Lear I, 1.
Posted by: Nicolas Richard
Mehdi Tibouchi a écrit :
> En fait, exprimée plus directement, l'idée était la suivante : pour une
> mesure delta donnée, on maximise l'intégrale en plaçant toute la masse
> delta en les points où |f| est la plus grande possible. Mais
> l'encadrement était une complication inutile. Voici une présentation de
> la même idée, mais plus simple.
Extra, ça marche au poil ton histoire. Merci bien.