Mathématiques - integrale exp(-x^2) -inf, +inf ???

integrale exp(-x^2) -inf, +inf ???
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Posted by: camacho13

auriez vous la methode pour integrer cette integrale qui est assez classique.
Mais malheureusement je ne me souviens plus ....

Merci pour votre aide

Posted by: quinto

Bonjour,
il suffit de calculer l'intégrale
$\int_{R^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$ et de faire un changement de variable pour passer en polaire, et tu utilises le théorème de Fubini.
Je ne me souviens pas vraiment des détails, mais l'idée est là.
A+

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par quinto

Bonjour,
il suffit de calculer l'intégrale
$\int_{R^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$ et de faire un changement de variable pour passer en polaire, et tu utilises le théorème de Fubini.
Je ne me souviens pas vraiment des détails, mais l'idée est là.
A+

Oui, je crois que je me souviens des détails :

On cherche $A=\int_Re^{-x^2}dx$
Alors $A^2=\int_Re^{-x^2}dx * \int_Re^{-y^2}dy$
Soit :
$A^2=\int_{R^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$

En faisant le changement de variable x,y ---> r,t : x=r cos(t) y=r*sin(t) on tombe sur :

$A^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrdt$

$A^2=\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr$

$A^2=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr$

Cette dernière intégration est immédiate :

$A^2=2\pi/2$

$A^2=\pi$

Finalement $A = sqrt{\pi}$

Enfin, je crois bien que c'était ça... J'espère que je ne me suis pas trompé d'un facteur !

Posted by: Alpha

Salut,

Cette intégrale est très classique : elle peut se calculer à l'aide de l'intégrale de Wallis, qui est l'intégrale In de [sin(t)]^n entre 0 et pi/2. Il faut d'abord trouver des relations entre In et I(n+2), ensuite grâce à des encadrements, on trouve que In converge vers une certaine valeur pour n tendant vers + l'infini.

Ensuite, on encadre e^(-x²/2) par des fonctions dont je ne me souviens malheureusement plus, et l'on se ramène, par un changement de variable, à l'intégrale In.

Comme tu le vois, je ne me souviens que vaguement de ce problème, mais en cherchant sur Google "Intégrale de Wallis" et "e^(-x²/2)", tu devrais trouver des énoncés qui proposent la démarche que j'ai vaguement exposée.

Si ma mémoire est bonne, à la fin, on trouve (racine de pi)/2 pour l'intégrale de 0 à l'infini, donc par parité de -l'inf à +l'inf c'est racine de pi.

;)