Intégrale impropre

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Posted by: ayla8101

Je dois montrer que l'intégrale impropre qui va de 1 en +l'infini de la fonction f(x) = lnx/(1+x²) converge et déterminer sa valeur.
Pourriez vous m'ai dez svp?


Posted by: isortoq

Citation:
Posté par ayla8101
Je dois montrer que l'intégrale impropre qui va de 1 en +l'infini de la fonction f(x) = lnx/(1+x²) converge et déterminer sa valeur.
Pourriez vous m'ai dez svp?


N'est-ce pas plutôt : f(x) = lnx/(1+x)² ??


Posted by: ayla8101

non c'est bien la bonne forme. Apparemment je ne suis pa la seule à ne pas trouver..


Posted by: yos

Et si c'était 0 la borne inférieure?? Dans ce cas l'intégrale vaudrait 0.
Remarque : la convergence est triviale car l'intégrande est un o(x^(-3/2))


Posted by: ayla8101

non la borne inferieure est 1. Enfin ce n'est pas grave je demanderias à quelqu'un de ma classe comment m'y prendre!Merci


Posted by: tize

N'oublie pas de nous donné la réponse si tu l'as stp...


Posted by: tize

J'ai posté la question sur un autre forum (ici ) , pour l'instant pas de réponse mais quelqun a proposé un changement de variable (x=1/t) et on obtient le résultat suivant :
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln(x)}{1+x^2}dx = -\int_{0}^{1}\frac{\ln(x)}{1+x^2}dx
Ca m'a donné une idée : ne peut on pas developper \frac{1}{1+x^2} sous forme de série que l'on pourra ensuite sortir de l'intégrale de a à b puis faire tendre a vers 0 et b vers 1 (bord du domaine de convergence de la série)...
Je vais essayer


Posted by: tize

J'ai essayé d'avancer le problème ici : http://www.mathematex.net/phpBB2/ici-vp11049.html#11049
il semblerait que cela donne : \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}
mais j'ai des petits soucis (comme vous pourrez le lire) pour faire ça bien...


Posted by: nyafai

peut-être que je me trompe, je n'ai pas refait le calcul mais il me semble qu'on peut trouver la valeur en se ramenant d'abord à l'intégrale de Arctan(t)/t par une intégration par partie.

Ensuite il faut étudier la fonction :
<br /> G(x)=\int \frac{arctan(xt)}{t}dt

et en la dérivant, trouver une équation différentielle vérifiée par G permettant de calculer explicitement G. On trouve ensuite la valeur en x=1 et donc le résultat

je vais essayer de revoir mais il me semble que j'avis déjà fait cet exo et que ca marchait comme ca.

edit: oui ca doit marcher parce que:
G'(x)=\int \frac{dt}{1+x^2 t^2}

qui est la primitive d'une fraction rationnelle qu'on peut donc calculer explicitement et ensuite on doit en déduire G(x) en primitivant


Posted by: tize

Hé c'est pas bête du tout !
G(0)=0 et j'ai trouvé G'(x)=\frac{\arctan(x)}{x} c'est ça ?

Par contre je vois pas trop la primitive...


Posted by: nyafai

euh désolé en fait je crois qu'on tourne en rond parce que la primitive d' arctanx/x c'est justement ce qu'on cherche...


Posted by: tize

A...oui c'est bien ce qu'il me semblait aussi...si tu as déjà fait cet exercice et que tu le retrouve fais moi signe...
Ou si tu sais comment calculer : \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} n'hesite pas...
Je sais montrer que \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}= \frac{\pi^2}{8} mais avec le (-1)^n ...?


Posted by: isortoq

Hum, l'intégrale de Arctan(t)/t diverge en l'infini...


Posted by: nyafai

en effet donc ce n'est définitivement pas la bonne piste...

edit : quoi qu'on puisse l'étudier sur [0,1] d'après un précédent post


Posted by: tize

Citation:
Posté par isortoq
Hum, l'intégrale de Arctan(t)/t diverge en l'infini...

oui mais on integre de 0 à 1 avec le changement de variable x=1/t


Posted by: Pythales

Je suis moi aussi sur 2 forums (fora?)
Voici ce que j'ai écrit sur l'autre :
Je pose I=\int_1^{\infty}\frac{lnxdx}{1+x^2}
Je suis parti de la fonction f(z)=\frac{(lnz)^2}{1+z^2} que j'intégre de 1 à \infty puis sur un cercle dont le rayon tend vers l'infini, puis de \infty à 1 puis sur un cercle de rayon tendant vers 0
Je trouve 2 \pi i \sum Res.=2\pi ^3 mais à gauche, je trouve la valeur 4 \pi ^2 \int_1^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}-4 \pi i I c.a.d. une partie réelle et une partie imaginaire.
Les intégrales prises le long des cercles sont nulles.
Ca m'énerve, car je n'arrive pas à trouver mon erreur.
Si quelqu'un a une idée ...


Posted by: yos

Citation:
Posté par Pythales
Je suis parti de la fonction f(z)=\frac{(lnz)^2}{1+z^2} que j'intégre de 1 à \infty puis sur un cercle dont le rayon tend vers l'infini, puis de \infty à 1 puis sur un cercle de rayon tendant vers 0

J'ai pas regardé en détail mais il te faut, je crois, une détermination du logarithme, ce qui ne peut se faire que sur C privé d'une demi-droite d'origine O. Et ton contour d'intégration croise malencontreusement une telle demi-droite.


Posted by: Pythales

J'ai réalisé en effet que la fonction n'est pas uniforme dans le domaine que j'ai choisi (point de branchement en 0). J'aurais du prolonger jusqu'à 0, mais dans ce cas, ça ne correspond pas à l'intégrale que je cherche.


Posted by: tize

J'ai essayé de rentrer ma serie : \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} dans cette page web , c'est apparement la "constante de Catalan" :0.915965594177219015054603514932...
ayla8101 Si tu repasses par là et que tu as une solution plus "jolie"...

[EDIT:]
Je viens de trouver ceci dans la superbe Wikipedia...je crois que ça termine le débat !


Posted by: yos

Citation:
Posté par tize
J'ai essayé de rentrer ma serie : \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} dans cette page web , c'est apparement la "constante de Catalan" :0.915965594177219015054603514932...
ayla8101 Si tu repasses par là et que tu as une solution plus "jolie"...

[EDIT:]
Je viens de trouver ceci dans la superbe Wikipedia...je crois que ça termine le débat !

C'était courru.
Mais ne sous-estimons pas les copains de classe d'Ayla8101










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