Integrale impropre

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Posted by: amk

Bonsoir ,
Soit
I(y)=\int_{2}^{+\infty}\frac{\cos \left (2\cdot \pi \cdot y \cdot x \right)}{x \cdot \ln(x) } dx

J'ai trouvé la relation suivante ( qui était demandé dans l'énoncé ) :
I(y) = \int_{2}^{1/y}\frac{\cos \left (2\cdot \pi \cdot y \cdot x \right)-1}{x \cdot \ln(x) } dx + \int_{2}^{1/y}\frac{dx}{x \cdot \ln x } + \int_{1/y}^{+\infty}\frac{ cos \left (2\cdot\pi \cdot y \cdot x \right)}{x \cdot \ln x }

( je ne sais pas d'ou vient la fleche ne faites pas attention )

Je dois démontrer que lorsque y \rightarrow 0 on a I(y) \simeq \ln \left(-\ln y \right)

Merci


Posted by: Pythales

En posant lnx=u on vérifie que l'intégrale du milieu est effectivement équivalente à ln(ln(\frac{1}{y})) lorsque y tend vers zéro. Il reste à montrer que les intégrales 1 et 3 gardent une valeur finie, ou du moins tendent vers l'infini "moins vite" que la 2. Facile pour la 1, moins évident pour la 3, avec la borne \infty










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