Mathématiques - intégrale fonction ln

intégrale fonction ln
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Posted by: d.masse3

bonjour
je coince un peu sur l'intégrale suivante :

integrale de 0 à 1 de ln(x^2 +sqrt(x^2+1))

meme en passant par le sinus hyperbolique je ne vois pas...

merci de votre aide.

Posted by: manu18ck

essaie un changement de variable je l'ai pas fait mais ca peut peut etre marcher

Posted by: andros06

tu veux primitiver argsh(x) , je te conseille de visiter le lien suivant : ça te donnera peut-être des idées.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Primit...3%A9cipro ques

Sinon t'as essayé une IPP ? Intégrer 1 et dériver argsh(x) par exemple ...

Posted by: d.masse3

le probleme c'est que x est au "carré" donc ce n'est pas l'intégrale de argsh

Posted by: andros06

scusi ! pas fait gaffe
par contre ma question sur l'IPP reste valable .

Posted by: d.masse3

L 'IPP ... c'est pire encore.

Posted by: fahr451

pas de difficulté théorique

1)IPP -> fraction rationnelle en x et racine ( x^2+1)
2) changement de variables x = sh t -> fraction rationnelle en ch et sh
3) changement de variables u = exp (t) -> fraction rationnelle en u
4) décomposition en éléments simples
5) intégration terme à terme

bon calcul ...

Posted by: d.masse3

ha oui quand meme...cela fait pas mal d'étapes.

merci beaucoup à tous, je me lancerais dans le calcul en soirée, vous tiendrais au courant du résultat ...ou des difficultés.

Posted by: amine801

Je suis en informatique et modélisation mathématique et justement je travaille sur un projet qui a pour but
De créer un programme qui calcul n’importe quelle intégreral ma version est presque final
J’ai fait le test pour ta fonction et ca ne marche pas
Je pense qu’il n’existe pas de fonction qui puisse exprimer cette primitive
Cela dit si tu trouve une solution sa serai sympa de me tenir au courant

Posted by: d.masse3

1)IPP -> fraction rationnelle en x et racine ( x^2+1)
2) changement de variables x = sh t -> fraction rationnelle en ch et sh
3 changement de variables u = exp (t) -> fraction rationnelle en u
4) décomposition en éléments simples
5) intégration terme à terme

fraction rationnelle en u du type

(u^8+ u^7+u^5+u^3+u+1)du/ u^8+u^7+u^6+2u^5+u^4+u^3+u^2 ??

j'avoue je cale...

Posted by: fahr451

amine c'est obligé que ça marche

d'autre part j'ai un peu (pas beaucoup) regardé Li2 on peut vraiment calculer Li2(-2)? et Li2(-3)? si oui peux tu me donner la solution s'il te plait ?

Posted by: fahr451

d masse tu cales parceque tu ne sais pas décomposer la fraction en éléments simples ( factorisation du dénominateur ) (moi non plus d 'ailleurs) mais d'un point de vue théorique
c'est fini

.ca devrait être de degré 5 au dénominateur

Posted by: amine801

mon programme aussi il cale apparemment il suis le même cheminement après il n’arrive pas a trouver la solution

pour les polylogarithmes je mettrais la réponse des que possible (les calcules sont un peu delicas)

Posted by: andros06

MAPLE retourne une primitive ya du argch, du arctan et du ln de racine. C'est un peu horrible. Bonne chance à toi d.masse3 ...

Posted by: amine801

stp tu peux me filer une capture d'ecran de maple

Posted by: mathelot

le polynome au dénominateur a des coefficients symétriques par rapport à celui du milieu, ce qui divise le degré de l'équation par 2:
d'où:
$Q(u)=u^{5} \left(u^3+\frac{1}{u^3}+u^2+\frac{1}{u^2}+ u + \frac{1}{u} + 2 \right)$
en posant
$z=u+\frac{1}{u}$
on revient à une équation de degré 3. Avec un peu de chance, celle-ci a une racine évidente...
PS: elle a une racine évidente z=0 et le dénominateur admet $u^2+1$ (entre autres) comme facteur.
pour calculer les autres racines,il suffit de résoudre:
$z^2+z-2=0$ (racines évidente !!)
puis
$u+\frac{1}{u}=z$
donc le dénominateur se factorise bien, finalement...

Posted by: andros06

Amine,
file moi ton adresse mail et je t'envoie le fichier en pdf.

Posted by: amine801

voila c'est fait en MP

Posted by: amine801

merci andros:
http://img264.imageshack.us/img264/1719/tempgy9.th.png

Posted by: Joker62

Pas très joli en effet lol

Posted by: mathelot

bonjour,
en suivant les indications de fahr, je trouve que l'intégrale vaut:

$ln(1+\sqrt{2})- \int_{1}^{1+\sqrt{2}} \quad \frac{ \left( x^4 - 2 x^2 +1 \right) \left(x^2+x+1 \right) }{x^2 \left( x^4+2x^3-2x^2+2x+1 \right)} \quad dx$

avec:

$x^4+2x^3-2x^2+2x+1=(x^2+(1-\sqrt{5})x+1)(x^2+(1+\sqrt{5})x+1)$

Posted by: mathelot

d'où:
$I=ln(1+\sqrt{2})-\int_{1}^{1+\sqrt{2}} \quad \left( 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}+\frac{1-\sqrt{5}}{x^2+(1-\sqrt{5})x+1}+\frac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2} \quad \frac{1}{x-\alpha} - \frac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2} \frac{1}{x-\beta} \right) dx$
avec:
$\alpha=\frac{-1-\sqrt{5}+ \sqrt{2}\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}$
$\beta=\frac{-1-\sqrt{5}- \sqrt{2}\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}$

Posted by: mathelot

quelques calculs plus tard, j'obtiens une expression relativement simple (plus simple que MAPLE):

---------------------------------------------------------------

Posted by: mathelot

Bon, après quelques heures (quelques jours ?) , j'ai pu obtenir la valeur exacte et agréable (ce post annule le précédent):

soient:
$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
$\psi=1+\sqrt{2}$

$\int_{0}^{1} \quad \ln \left( x^2+ \sqrt{x^2+1} \right) dx = 2 \ln (\psi) - 2 + 2 \sqrt {\phi -1} \quad \arctan \left( \frac{ \left( \phi + 1 \right) \sqrt{ \phi - 1} }{\psi} \right) - \phi \sqrt{\phi -1} \quad \ln \left( \frac{ \psi (3 \phi + 2 ) + 2 \phi + 1 + \sqrt{ \phi} \psi \left( 1+\phi \right) }{\psi \left( 3 \phi + 2 \right) + \phi +1 } \right)$

(vérifié à l'aide Maple)