Mathématiques - intégrale et équation fonctionnelle

intégrale et équation fonctionnelle
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Posted by: nekros

Salut

Soit $3$a \in ]1,+\infty[$ .
Trouver toutes les applications $3$f$ de $3$\mathbb{R}$ dans $3$\mathbb{R}$ de classe $3$C^1$ , à valeurs positives (au sens large) telles que :

$3$\forall x \in \mathbb{R}$ , $3$(f(x))^a= \int_0^x (f(t))^{a-1} dt$

A+

Posted by: Bija

Si f(x) est différent de 0, en dérivant l'équation on obtient a*f'(x)=1.
On suppose f non nulle : f(x0) différent de 0. f est strictement positive au voisinage de x0, donc sur un intervalle du type [x0-c,x0+c[ et pour x dans cet intervalle, f(x)=(x-x0)/a+f(x0).
On en déduit que f est strictement positive sur un intervalle du type [y0,+inf[ avec f(x)=(x-y0)/a, pour x>y0.
f étant C1, f'(y0)=1/a et pour x au voisinage de y0, f(x) est équivalent à (x-y0)/a, donc f(x)<0 pour x<y0 =>contradiction.

f=0 est la seule solution.

Posted by: nekros

Salut,

f=0 est solution, mais ce n'est pas la seule.
Je pense que tu t'es trompé dans la dérivation.

A+

Posted by: Bija

Une autre solution :

pour x<=0, l'intégrale du membre de droite est négative, donc f(x)=0 pour x<0.
Si f est non nulle soit x0 l'inf de {x/f(x)>0}. f est nulle sur [0,x0] et f'(x0)=0.
Soit n dans N*, il existe yn dans [x0,x0+1/n]/f(yn)>0, et donc f'(yn)=1/a.
Or yn tend vers x0 fonc f'(yn) tend vers f'(x0)=0 car f' est continue.
D'ou la contradiction.

EDIT : pour la dérivation j'obtiens a*f'(x)*f(x)^(a-1)=f(x)^(a-1).

Posted by: nekros

J'espère que jme suis pas trompé en traitant l'exo

Bon, pour la dérivée je suis d'accord.

Donc j'ai montré que f convient ssi f(0)=0 et f vérifie l'équation différentielle issue de la dérivation.

Puis on a $(f^3)^' \ge 0$ donc f est croissante et on considère alors f^{-1}({0})

Je mets le raisnnement si tu veux.
A+

Posted by: Bija

Oui poste ton raisonnement.

Et poste aussi le résultat final que tu obtiens, parce que je ne pense pas qu'il y ait d'autres solutions que la fonction nulle.

Posted by: nekros

Ok

Je crois que je me suis trompé, et que tu avais raison

$3$f$ est solution équivaut à : $3$\forall x \in \mathbb{R}$ , $3$a(f(x))^{a-1}f'(x)=(f(x))^{a-1}$ et $3$f(0)=0$

$3$f$ est solution équivaut à : $3$\forall x \in \mathbb{R}$ , $3$(f(x))^{a-1}(af'(x)-1)=0$ et $3$f(0)=0$

Or, $3$\forall x \in \mathbb{R}$ , $3$(f(x))^{a-1}(af'(x)-1)=0$ et $3$f(0)=0$ équivaut à $3$f(x)=0$ ou $3$f'(x)=\frac{1}{a}$ pour tout x

Je trouvais comme solution : $3$f(x)=\frac{x-A}{a}$ si $3$x \in [A,+\infty[$ et $3$f(x)=0$ si $3$x \in ]-\infty,A]$ avec $A \in \mathbb{R}$

Mais cette solution ne fonctionne pas...

a+

Posted by: Bija

Non parcequ'elle n'est pas C1.

Mais on peut restreindre les hypothéses et supposer f dérivable si tu veux.