Intégrale elliptique et moyenne arithmético géométrique.

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Posted by: Rain'

Bonjour,

Soit k dans [0,1[. On appelle intégrale elliptique de première espèce le nombre réel \phi(k) = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ds}{\sq {1-k^2\sin^2s}}<br />
1) Démontrer la relation \phi(k) = \frac{1}{1+k}\Phi(\frac{2\sq{k}}{1+k}).

Soient 0&lt;b\leq a deux nombres réels. On considère le nombre réel
I(a,b) = \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{\sq{a^2\cos^ 2t + b^2\sin^2t}

2) Monter que I(a,b) = \frac{1}{a}\phi \left( \frac{\sq{a^2-b^2}}{a}\right)
et I(a,b) = I \left(\frac{a+b}{2},\sq{ab}\right).

Sachant qu'il s'agit d'un problème de sup et qu'on a commencé les intégrales hier si quelqu'un peut m'aider svp.


Posted by: Rain'

svp personne n'a la moindre idée ? c'est assez urgent.


Posted by: Mikou

avec latex peut etre que ...


Posted by: Rain'

http://img64.imageshack.us/img64/9347/68nx.jpg

C'est mieux?


Posted by: leibniz

J'ai modifié en LaTeX mais merci de vérifier!
A+


Posted by: Pythales

Quelques réflexions sur la 2éme partie :
\sqrt{a^2cos^2t+b^2sin^2t}=\sqrt{a^2+(b^2-a^2)sin^2t}=a\sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}sin^2t}
d'où I(a,b)=...
Si je pose a=k+1 et b=k-1, I(a,b)=\frac{1}{1+k}\phi (\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=\phi(k)=\phi(\frac{a+b}{2} )
d'après la 1ère partie


Posted by: Pythales

Le but de l'exercice est de monter qu'on peut réduire une intégrale elliptique au moyen de la moyenne arithmético géométrique (méthode de Gauss). En itérant le procédé, \frac{a+b}{2} et \sqrt{ab} tendent tous deux vers une même valeur m (moyenne a.g) et il reste à intégrer \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{\sqrt{m^2cos^2t+ m^2sin^2t}} ce qui est élémentaire


Posted by: Pythales

Je fais ressortir ce problème qui me parait intéressant (et que personne, moi compris, n'a réussi à résoudre), avec une petite remarque :
si je pose u_0=k et v_0=1 j'ai \phi (k)=\phi (\frac{u_0}{v_0})
Si je pose u_1=_sqrt{u_0 v_0} et v_1=\frac{u_0+v_0}{2} (moyenne arithmético géométrique) j'ai :
\phi (\frac{u_0}{v_0})=\frac{1}{u_0+v_0}\phi(\frac{u_1} {v_1})
Si ça peut aider dans la solution ...


Posted by: Rain'

Bonsoir, Yos m'a dit que la résolution de ce problème intéréssait plusieurs personnes. Donc pour ceux qui auraient envie de continuer à chercher, intéréssez vous à la fonction u(t) = arcsin [ ((1+k)sin t) / (1+k*sin²t) ] sur [0;Pi/2]

ainsi qu'à cos u(t).

Je vous laisse chercher.










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