Intégrale double

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Posted by: Joker62

Bonjour tout le monde ;)
Donc je viens de commencer les intégrales doubles, et mon prof nous a laissé un exercice avec la consigne Essayer de calculer cette intégrale. Bon donc faut pas être bête ça veut dire qu'avec les outils mis à notre disposition aucun ne marchera. Donc j'me suis intéressé de plus prêt et j'ai penser à un changement en coordonnée polaire enfin bref, dîtes moi un peu où j'ai faux parce que je trouve pas lol :p

\Large \Delta = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \quad | \quad x^2+y^2 \le 1 \qquad et \qquad 0 \le x \le x^2+y^2 \}

On a donc clairement que \Large \Delta = D((\frac 12,0),\frac 12) ( le disque...)

On cherche à calculer \Large \iint_\Delta \frac {dxdy}{1+x^2+y^2}

On pose alors \Large x = r.cos \theta \qquad et \qquad y = r.sin \theta

Le domaine \Large \Delta devient \Large \gamma = \{ (r,\theta) \in \mathbb{R}^2 \quad | \quad r \in [-1;1] \qquad et \qquad \theta \in [0;2\pi] \}

Et donc on revient à calculer \Large \iint_\gamma \frac {r}{1+r^2} dr d\theta

D'où \Large \int_0^{2\pi} \left ( \int_{-1}^1 \frac {r}{1+r^2} dr \right ) d\theta

donc on a le ln(1+r^2) qui apparait et ça fait 0.

Malheureusement, quand je trace la fonction sur Maple, elle ne m'a pas l'air d'avoir un volume nul sur ce domaine. et comme j'ai pas réussi à avoir une valeur, j'aimerai bien comprendre, et même savoir si j'ai bon ou pas :(

Merci bien :$


Posted by: amine801

slt
je voie pas pourquoi tu prend -1 et 1 comme borne
pour moi c'est 0 1
R=\sqrt{x^2+y^2} ?!!


Posted by: Joker62

bé x² + y² <= 1
ça donne r²cos² + r²sin² <= 1
donc -1 <= r <= 1 ???


Posted by: nox

et qu'est ce que tu fais de la seconde inéquation ?


Posted by: Joker62

beuh la deuxième ça me donne
0 <= r.cos <= r²

Et j'vois pas ce que ça peut donner...


Posted by: amine801

je sais pas comment expliqué mais mes cours d'integrales multiples remonte a loin
normalement pour
prendre tout les (x,y) 0\leq x \leq x^2+y^2\leq1 et
quand tu prend pour intervalle [-1,1]et [0,2pi] il ya forcement des points que tu compte deux fois


Posted by: Joker62

Donc je devrais prendre [0;1] et [0;2pi] ???


Posted by: amine801

oui c'est cela


Posted by: Joker62

J'vais voir ce que ça donne alors lol :p

Edit : Merci bien (k)


Posted by: amine801

x^2+y^2\leq1
c'est l'equation d'un disque avec son perimaitre
de meme que 0<=r<=1 et 0<=theta<=2pi


Posted by: Joker62

ah oui je comprend mieux là.
Donc le principal, c'est de trouver un domaine d'intégration équivalent. merci


Posted by: Blueberry

Bonjour,

Si il n'y a pas de faute de frappe dans ton texte initial, ton ensemble Delta c'est le disque de centre O et de rayon 1 privé du disque de centre (1/2 ; 0) et de rayon 1/2.

Or si r app [0 ; 1] et téta app [0 ; 2pi] tu va intégrer sur tout le disque unité.


Posted by: Joker62

Euh non, mon ensemble Delta c'est justement le Disque de centre (1/2,0)
et de rayon 1/2.

x² + y² <= 1 c'est le disque unité
et 0 <= x <= x² + y²

On passe à l'égalité :

x = x² + y² <=> x² - x + y² = 0 <=> (x-1/2)² + y² - 1/4 = 0 <=> (x-1/2)² + y² = 1/4

Donc c'est bien ll'intersection du cercle unité avec le disque que j'ai dit plus haut


Posted by: fahr451

bonsoir

le domaine d'intégration n'est pas défini par les égalités mais par des inégalités

à l'intérieur du disque unité et à l'extérieur du disque D' = D(I(1/2,0) ;1/2)

blueberry a raison
le passage en polaires sur D' donne à calculer l'intégrale entre -pi/2 et pi/2 de (1/2)ln (1+cos^2 teta)


Posted by: Joker62

Beuh c'est bizarre même mon prof s'est trompé alors :^) ???

J'vais voir ça de plus prêt
Merci pour vos interventions.










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