Mathématiques - Intégrale double pour calculer l'aire du domaine entre trois paraboles

Intégrale double pour calculer l'aire du domaine entre trois paraboles
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Posted by: andrianiaina

Bonjour à tous,

Etant donnés trois paraboles comment calculer l'aire du domaine compris entre ces trois paraboles ?

PS : disons que les deux premiers paraboles sont tels que l'un est plus petit que l'autre et qu'ils tournent vers le haut, et que le dernier tourne vers le bas et coupe les deux premiers paraboles.

Merci beaucoup

Posted by: bruce.ml

Salut,

par exemple y = x² , y = x²+1 et y = -x² + 3 ?

Posted by: Aspx

Dans l'exemple que te propose bruce.ml tu peux déduire l'aire en calculant un tas d'intégrales sous les courbes (il faut replacer l'origine parfois ou soustraire des rectangles).
On appelle par exemple A l'aire à rechercher et $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3$ les courbes dans l'ordre. Comme les fonctions sont paires on travaille du côté positif.
On calcule l'intersection de $\Gamma_3$ avec l'origine : $x=sqrt 3$ , puis avec $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ : $x=\sqrt{\frac{3}{2}}$ et $x=1$ .

Il suffit ensuite de jeter un oeil à la courbe pour les calculs:
$3$ \int_{0}^{sqrt 3} -x^2+3 dx = \int_{0}^{1} -x^2+3 dx - 1*2 + 2*1 - \int_{0}^{1} x^2+1 dx + A + \int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} x^2 dx + \int_{\sqrt{\frac {3}{2}}}^{sqrt 3} -x^2+3 dx$

Je te laisse les calculs!

Posted by: andrianiaina

Je ne comprends pas très bien pourquoi on a les termes -1*2+2*1-....+intégral de 0 à racine de (3/2) de x² ?

Posted by: Aspx

Trace le graphe des trois fonctions et tu verras comment obtenir l'aire voulue, c'est le calcul du dessus.