Mathématiques - Intégrale à deux paramètres

Intégrale à deux paramètres
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: Aspx

Bonsoir,
On se donne une fonction continue sur R+ et f(t)/t est supposée pseudo-intégrable en l'infini. Pour tous a,b>0 montrer que la pseudo intégrale $3$ \int_{0}^{+\infty} f(b t)-f(a t) \frac {dt}{t}$ existe et la calculer.

Ok pour l'existence, pour le calcul j'ai calculé les paquets de Cauchy (considérant a<b) :
$3$ \int_{x}^{y}f(b t)-f(a t) \frac {dt}{t} = \int_{bx}^{by}\frac{f(t)}{t}dt - \int_{ax}^{ay}\frac{f(t)}{t}dt<br /> \\ = \int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}dt + \int_{ay}^{by}\frac{f(t)}{t}dt = \int_{a}^{b}\frac{f(t x)}{t}dt + \int_{a}^{b}\frac{f(t y)}{t}dt$

Donc voilà j'ai cherché mais bon ça mène un peu à rien... Une idée ?
Merci d'avance!

Posted by: Pythales

$\int_0^{\infty}f(at)\frac{dt}{t}=\int_0^{\infty}f( u)\frac{du}{u}$ en posant $u=at$
La réponse est zéro

Posted by: Aspx

C'est ce que je me suis dit mais je trouvais ça trop gros pour être vrai

Merci !

Posted by: totom

Je disais donc f(0) ln(a/b).

Posted by: Aspx

Cela tend vers 0 ou pas ? Le premier morceau (de la fin de mon calcul) semble tendre vers ce que tu annonce totom, mais le second morceau ?

Posted by: totom

désolé pour mes messages intempestifs...
En fait tu peut faire tendre y vers l'infini dans le second morceau et ça fait 0, et pour le premier(ou tu as inversé les bornes je crois), une petite formule de la moyenne te donne f(c)ln(b/a) ou c strictement compris entre bx et ax , et par continuité de f quand x tend vers 0, voili voilou!
De plus à moins que a=b, ça n'a pas de raison de faire 0 géometriquement.
En esperant avoir été utile.