Mathématiques - Intégrale à deux paramètres le retour

Intégrale à deux paramètres le retour
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Posted by: Aspx

Bonsoir,
$\large \lambda$ et $\large \mu$ sont deux réels strictement positifs. Calculer (existence ok) :
$\large \int_{0}^{\tiny +\infty} \large \frac {e^{-\lambda t} - e^{-\mu t}}{t}dt$

On ne peut séparer en deux et faire un changement de variable car l'intégrale cesse d'exister (car $\large \sim_{\tiny 0+} \large \frac{1}{t}$ non intégrable en 0).
Alors comment procéder ?

Merci d'avance.

Posted by: ThSQ

Et si on procédait comme ça :

$\large \int_{x}^{\tiny +\infty} \large \frac {e^{-\lambda t} - e^{-\mu t}}{t}dt =$ ..... on coupe en deux + changement de variables = $\large \int_{\lambda}^{\mu} \large \frac {e^{- t \cdot x} }{t}dt \rightarrow \int_{\lambda}^{\mu} dt/t$ quand $x \rightarrow 0$

Posted by: Aspx

Niquel ! L'astuce du x rah

Je retiendrai ! Merci beaucoup ThSQ !

Posted by: totom

Salut,
je suis tout a fait d'accord avec ce résultat, ce qui te démontre qu' en général ça fait pas zéro comme cela a pu etre dit.
Pour le cas général avec f, je trouve f(0) ln(mu/lambda)...sauf erreur.
A plus

Posted by: Aspx

totom dans l'autre post on peut séparer car ça continue d'exister j'ai l'impréssion... Enfin bref

Posted by: Pythales

Soit $I=\int_{t=0}^{\infty}\int_{x=\lambda}^{\mu}e^{-xt}dtdx$
En intégrant d'abord par rapport à $x$ : $I=\int_0^{\infty}[-\frac{1}{t}e^{-xt}]_{\lambda}^{\mu}dt=\int_0^{\infty}\frac{e^{-\lambda t}-e^{-\mu t}}{t}dt$
En intégrant d'abord par rapport à $t$ : $I=\int_{\lambda}^{\mu}[-\frac{1}{x}e^{-xt}]_0^{\infty}dx=\int_{\lambda}^{\mu}\frac{dx}{x}$
NB. Ici, en séparant en 2, on a la forme $\infty-\infty$ alors que dans l'autre post, on avait la forme $a-a$