intégrale compliquée, je me noie

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Posted by: Jeanne

Bonjour,
On suppose que p et q sont tels que Pi<=p/q.
Soit la suite Jn définie par
Jn= intégrale de 0 à Pi de [Pn(x)*sin(x)dx]
avec Pn(x)= (1/(n!))x^(n)(qx-p)^n

1)Montrer que la suite Jn tend vers 0 quand n tend vers +l'infini.

2)On suppose dans cette question que Pi=p/q est rationnel. Montrer, en utilisant des intégrations par parties succéssives, que Jn est un entier non nul.

3) Que déduire des deux résultats précédent?


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par Jeanne
Bonjour,
On suppose que p et q sont tels que Pi<=p/q.
Soit la suite Jn définie par
Jn= intégrale de 0 à Pi de [Pn(x)*sin(x)dx]
avec Pn(x)= (1/(n!))x^(n)(qx-p)^n

1)Montrer que la suite Jn tend vers 0 quand n tend vers +l'infini.

En majorant | P_n(x) \sin{x} | par \frac{q^n \pi^{2n}}{n!} (sauf erreur) on obtient une majoration de l'intégrale par quelque chose qui tend vers 0.

Citation:
Posté par Jeanne
2) On suppose dans cette question que Pi=p/q est rationnel. Montrer, en utilisant des intégrations par parties succéssives, que Jn est un entier non nul.

Je n'ai pas fait de calcul, ça doit être faisable par récurrence sur n, avec deux intégrations par parties (en prenant une primitive de sin puis du cos pour la 2e intégration) pour montrer le rang n à partir du rang n-1.


Posted by: Pythales

La première partie est facile. La troisième aussi (quand on a résolu la deuxième).
Quelqu'un a-t-il essayé l'intégration par parties ? Il y a un terme en 2qx-p qui m'énerve d'autant plus que je sais que dans le temps, j'avais réussi à m'en débarasser pour trouver la récurrence sur les Jn.
Si quelqu'un a une idée ...


Posted by: Pythales

Avec 2 intégrations par parties, et en écrivant (2qx-p)^2=4qx(qx-p)+p^2 , on obtient sous l'hypothése que \pi=\frac{p}{q} :
J_n=2q(2n-1)J_{n-1}-p^2J_{n-2} avec:
J_0=2
J_1=4q
Donc J_n serait entier, contrairement a 1, et donc \pi n'est pas rationnel










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