Mathématiques - Intégrabilité!!!

Intégrabilité!!!
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Posted by: guigui777

Voilà le classique sint/t.... sur 1,+infini,
je regarde si c'est intégrable. Il est clairement noté dans mon livre que non, et pourtant je peux trouver une limite à la primitive en faisant une IPP j'ai cos1-cosx/x-int(1 à x) cost/t²dt.et là y'a pas de problème. je n'arrive pas à comprendre.. j'ai majoré mon intégrale, donc elle ne tend pas vers l'infini... et donc pourquoi ca ne converge pas...!!!
Peut etre parce que ce n'est pas de signe constant et donc pas la même limite.... ? je sais pas trop! merci de m'éclairer!

Posted by: tize

Bonsoir,
cela dépend de l'intégrabilité dont on parle !
Au sens de Riemann, l'intégrale converge comme tu l'as dit...
Pour qu'elle soit intégrable au sens de Lebesgue il faudrait qu'elle soit intégrable en valeur absolue ce qui n'est pas le cas...

Posted by: guigui777

heu je sais pas trop, pourquoi ca n'est pas intégralbe au sens de Lebesgue?

Posted by: tize

Et bien parce que $\int_{1}^{+\infty}\|\frac{\sin(t)}{t}\|dt = +\infty$

Posted by: guigui777

ok faudra juste que tu me montres comment arriver à ce resultat
Merci!!

Posted by: SimonB

Pour montrer ce résultat, tu peux découper ton intégrale sur les $[k\pi,(k+1)\pi]$ et faire le changement de variable $u=t-k\pi$ . Tu devrais te retrouver avec la série harmonique, modulo une constante multiplicative.

Posted by: Pythales

Puisqu'on parle de cette fameuse intégrale, un moyen de la calculer est de considérer $I(\alpha)=\int_0^{\infty}e^{-\alpha x}\frac{sinx}{x}dx$ , de calculer $I'(\alpha)=-\int_0^{\infty}e^{-\alpha x}sinxdx=-\frac{1}{1+\alpha^2}$ ce qui donne $I(\alpha)=\lambda-Arctg\alpha$ , et comme $I(\infty)=0$ on a $\lambda=\frac{\pi}{2}$ , et en faisant $\alpha=0$ on trouve que $\int_0^{\infty}\frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi}{2}$ ce qui est exact.
Malheureusement, pour $\alpha=0$ , $I'(\alpha)$ ne converge plus.
Comment justifier le résultat malgré tout ?

Posted by: guigui777

ok je vois le truc, maintenant si je regarde sin(1/t)/((racine de t)*t)
la en +infini j'ai fait : sin(1/t) qui est équiv à 1/t, j'ai donc 1/t^5/2... ca d'après Rieman ca converge non? parce que sur mon livre ils disent que le prob est en +infini... or moi je n'en vois pas....
ensuite en 0 je regarde la valeur absolue et je majore par K/t^3/2 et là c'est pas bon... il faut donc que je trouve autre chose
J'ai tenter un changement de variable : t=1/u, j'ai alors sin(u)u^3/2... bon et là quand t -> 0 1/u -> + infini.... donc ^je ne suis pas trop avancé...