injection surjection bijection

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Posted by: haydenstrauss

Quelqu'un peut me dire si j'ai bien compris ?



surjection :

Prennons deux ensemble E et F et une fonction f.
Si tout les elements de F sont des images d'au moin un element de E par la fonction f.
C'est a dire qqsoit y appartenent a T il existe au moin un x appartenant a E
Je crois comprendre mais jai pas d'exemple.. On pourrai m'en donner .



Injection :

Prennons deux x different x1 et x2 alors f(x1) est different ed f(x2).
par exemple les fonction ax^2+bx+c ne sont pas injective par contre les fonction affine le sont ansi que l'expo et ln
C'est ça ?


bijection :

C'est quand une fonction est a la fois injective et surjective ( c'est ce que j'ai lu ...)
je comprend pas trop enfin si je comprenner surjection je comprendrai peut etre bijection...

Si on peux m'aider.

merci par avance


Posted by: Nightmare

Bonjour

Surjection :
une application f : E->F est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent par f dans E
C'est à dire que pour tout élément y de F, il existe un x tel que y=f(x)

Par construction, l'application f : E->f(E) est surjective quelque soit f.
Exemple :
L'application f : R->R+ qui à x associe x² est surjective.

Injection :

Une application f : E->F est injective si tout élément de F admet au plus un antécédent par f dans E.
Autrement dit, s'il existe deux éléments a et b tels que f(a)=f(b) alors a=b
Exemple :
L'application f : R->R qui à x associe exp(x) est injective.

Bijection :

Une application f : E->F est bijective si elle est injective et surjective, c'est à dire si tout élément de F admet un UNIQUE antécédent par f dans E

Exemple :
L'application f : R->R+ qui à x associe exp(x) est bijective.

Tu peux voir que préciser l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée d'une fonction est essentiel.




Posted by: El_Gato

Citation:
Posté par Nightmare
Exemple :
L'application f : R->R+ qui à x associe exp(x) est bijective.


\mathbb{R}^{+} - \{ 0 \}


Posted by: Nightmare

Oui j'ai oublié l'étoile, merci El gato


Posted by: Chimomo

Comme Nightmare le fait remqrquer, une application peut toujours être rendu surjective en restreignant l'ensemble d'arrivée.

On peut de même rendre une application injective en restreignant lensemble de départ mais on ne le fait jamais parceque ce n'est pas forcément facile (et ça peut avoir des conséquences topologiques assez graves sur l'ensemble de départ).


Posted by: El_Gato

Citation:
Posté par Chimomo
On peut de même rendre une application injective en restreignant lensemble de départ mais on ne le fait jamais parceque ce n'est pas forcément facile (et ça peut avoir des conséquences topologiques assez graves sur l'ensemble de départ).

On rend une application injective non pas en restreignant l'ensemble de départ, mais en faisant en sorte que les x et y tels que f(x) = f(y) correspondent à un même point. Autrement dit, on quotiente l'ensemble de départ par la relation d'équivalence f(x) = f(y).

Et en fait on le fait toujours, notamment en topologie, pour construire élégamment de nouveaux espaces à partir d'espaces connus.

Exemple: prendre l'application antipodie S^2 \longrightarrow S^2 \; \; x \longrightarrow -x où S^2 est la sphère unité dans l'espace à trois dimensions.

L'ensemble de départ "quotienté" par cette application est la sphère S^2 dans la quelle chaque point est collé à son antipode. Le résultat est la surface dite de Boy.


Posted by: nekros

Salut,

En plus concis :

f est surjective si et seulement si 3$\forall y \in F, 3$\exists x \in E tel que 3$y=f(x)

f est injective si et seulement si 3$\forall (x,x') \in E^2, 3$f(x)=f(x') \Longrightarrow x=x'

Thomas G

PS : je répondais au tout premier post


Posted by: Chimomo

C'est vrai que j'aurais du préciser que je me placais dans un cadre extrémemet sommaire, je voulais n'utiliser que les ensembles et les applications (et ne pas me lancer dans des structures quotients) parceque haydenstrauss semble débuter dans la théorie des ensembles. Mais comme je le disais on ne retire jamais des points dans la pratique et El Gato a donné une façon bien meilleure de rendre des applications injectives.


Posted by: Yipee

Citation:
Posté par El_Gato
L'ensemble de départ "quotienté" par cette application est la sphère S^2 dans la quelle chaque point est collé à son antipode. Le résultat est la surface dite de Boy.


C'est surtout le plan projectif.


Posted by: quinto

Ils sont conformes non?


Posted by: El_Gato

Citation:
Posté par Yipee
C'est surtout le plan projectif.


Oui exact et en plus l'antipodie est injective. J'aurais dû prendre plutôt E = le carré unité et l'identification des bords opposés --> ruban de Möbius.


Posted by: nekros

Bonsoir,

J'ai suivi le topic et j'aimerai savoir à quel niveau il se situe (surtout à partir des ensembles quotientés)

Merci

Thomas G


Posted by: haydenstrauss

ok merci

effectivement je commence en ensemble je connais a peu pres rien et je suis entrain de regarder livre pour ma curiosité.
Je connais rien en topologie enfin peut eter que si mais je ne sais pas c'est quoi.
je ne sais pas quotienté .. enfin je ne sais pas ce que ça ve dire.



Pour la surjection :

les fonction du type racine de u(x) avec u(x) pouvant etre négatif et par exemple u(x) / (a-x) ne sont pas surjective car pour la racine il y a des x qui n'ont pas d'image tel que racine de x pour x= a avec a>0 n'a pas dimage donc cetet fonction n'est pas surjective.
Et pour u(x) / (a-x) elel ne l'est pas non plus car avec x=a il n'y a pas d'image.
C'est la emem chose pour ln(x) : pour x=a et a>0 il n'y pas a d'image donc ln n'est pas injective et donc non bijective aussi.

En gros une fonction est surjective si qd on est la trace on ne doit pas lever la main ou il n'y a pas de trou ou encore il n'y pas a de valeur interdite.

injection :

si j'ai bien compris c'est qd chaque image a un et un seul antécedent par exemple les fonction affine.
les fonction cos et sin ne sont pas injective car y=1 a plus de 1 antécendent ( qui plus est a l'infinie d'antécédent)
les fonction du second degres ne sont pas injective aussi car certaine image ou deux antécedent?



Est ce que j'ai bien compris ?



PS : le truc de la sphere j'airien capter...


Posted by: Chimomo

Ta définition de la surjectivité est fausse (je parle des histoires de dessins) parceque tout vient de l'ensemble d'arrivée que tu choisit.

Je prends un exemple : f: x \mapsto x^{2}

Si tu définit f : [-1,1] \rightarrow \mathbb{R} elle n'est pas surjective, mais si tu définit f : [-1,1] \rightarrow [0,1] elle est surjective. Le dessin est le même pourtant.


Posted by: haydenstrauss

hum je crois que j'ai compris ._

Pour qu'une fonction soit surjective il faut que 3$\forall y il existe un antécedent x de y.

Par exemple:
Soit la fonction f: x \mapsto e^x
f n'est pas surjective si je définit f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} car pour y = -3 il n'existe pas de f(x) tel que f(x)=y

Par contre si je définit f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R+*} alors la oui elle est surjective car 3$\forall y il existe un antécedent x de y.

C'est ça ?


Posted by: Nightmare

"Si je définiS"

Sinon pour ta première affirmation c'est faux :

f : R --> R n'est pas surjective car pour y=-3, il n'existe pas de x (et non de f(x)) tel que y=f(x).


Posted by: Nightmare

La seconde est en effet vraie vu que 3$\rm \mathbb{R}_{+}^{*}=f(\mathbb{R})




Posted by: haydenstrauss

oui de x est pas de f(x) dsl erreur ...

Difficile de manipuler latex quand on connait rien j'écris super lentement lol


merci


Posted by: El_Gato

Citation:
Posté par nekros
J'ai suivi le topic et j'aimerai savoir à quel niveau il se situe (surtout à partir des ensembles quotientés)

Je dirais niveau Licence où l'on est obligé de regarder d'un plus près ces histoires d'ensemble quotient pour préparer le terrain. C'est utilisé un peu partout, et pas seulement en topo.


Posted by: haydenstrauss

mon niveau ? humhum

Je passe en en premiere année le licence, je vien d'avoir mon bac je regarde un peule programme de n'année prochaine pour ma curiosité et parceque j'aime bcp les math :)

Dcon en matiere d'ensemble je ne connnais pas grand chose j'aij appri pas mal de notation deja en lisant des sujet dans ce forum.

Vraiment bien d'ailleur le forum tres jolie agreable y'a pas d'abruti tout le monde aime les math c'est super :)

(PS : j'ai decouvert latex aussi par contre je chercher comment rédiger comme sur word mais avec des formule c possible avec latex ? )


Posted by: mathématicien arabe

bsr. je pense ( sui pa sur) d aprés mes conaissances que l espace quotient c l espace supplémentaire . Autrement. la codimension d un ev E est la dimension de son espace quotient qui est la dimension de son supplémentaire. Je vai essayer de chercher sur cela en tt cas


Posted by: quinto

Bonjour,
non un espace quotient n'est pas ça.
L'espace quotient de X par une relation d'équivalence ~ est l'espace X/~ qui est l'ensemble des classes d'équivalences modulo ~.

Sinon essaie de faire un effort d'écriture s'il te plait.


Posted by: El_Gato

Citation:
Posté par quinto
non un espace quotient n'est pas ça.


Disons plus précisemment que le cas cité par mathématicienarabe est un cas particulier, relevant uniquement de l'algèbre linéaire, car si E est un ev et F un sev de E, E/F, qui est effectivement isomorphe à un supplémentaire de F, est bien un espace quotient, au sens vu ci-dessus.










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