Alors voila on me donne x->P(x) qui est injective, P un polynome et deux matrices diagonalisable A et B tel que P(A)=P(B), montrer que A=B.
Alors ce qui m'embete c'est que je le resoud sans utiliser le fait que ce soit diagonale etc alors j'aimerai savoir où j'ai faut.
En evaluant A en un nombre X alors j'ai P(A(X))=P(B(X)) or pusque P est injective alors A(X)=B(X) et donc avec ce raisonnement en evaluant sur des vecteurs d'une base par exemple j'ai que A=B...où est l'erreur ? :D
Posted by: yos
Citation:
Posté par Azuriel
En evaluant A en un nombre X
A s'évalue sur des vecteurs, pas des nombres. Et P(vecteur)=pas de sens.
Posted by: ThSQ
Azuriel, j'ai l'impression que tu confonds certaines choses.
Déjà diagonale et diagonalisable c'est pas pareil (lapsus scribae j'imagine ;)).
"X alors j'ai P(A(X))=P(B(X))"
Ca n'est pas correct à mon avis.
- A(X) avec X nombre n'a pas de sens. Avec X vecteur colonne oui éventuellement.
P(A) est une matrice, si X est un vecteur, P(A)(X) a un sens mais P(A(X)) non sauf cas dénégéré en dim. 1).
Pour revenir à l'exo faut pas en plus supposer que A et B commutent ??
Si A et B commutent elles sont diagonalisables dans une même base :
alors et pareil pout P(B).
On fait l'égalité + injectivité de P : D_1 = D_2 et A = B.
Posted by: Azuriel
Non il n'y a aucun renseignement sur le fait qu'elle commute. C'est d'ailleur quelque chose qui me gene car rien me dit qu'elle sont diagonalisable dans la meme base donc c'est embetant...
(lapsus scribae j'imagine ;)).
et pareil pout P(B).