Infinité de nombre de la forme 4n+3

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Posted by: mathk

Bonjour,

Je lit la demonstration du theoreme qui stipule qu'il aurait une infinité de nombre premiers de la forme 4n+3

Pour cela on defini q tel que

q = 2^2 * 3 * 5 * 7 * 11 * ... * p - 1

Il est alors affirmer que q est de la forme 4n + 3. (J'ai une vague intuition du pourquoi)

Ensuite il est dit que q ne peut pas etre le produit de nombres premiers de la forme 4n + 1 uniquement, car le produit de 2 nombres de cette forme est aussi de la meme forme.

La demonstration se termine en disant que q est divisible par un nombre premier de la forme 4n+3 plus grand que p.

Je ne vois pas pourquoi le fait que q ne soit pas divisible par uniquement des nombres de la forme 4n+1 implique qu'il soit divisible par un nombre premier de la forme 4n+3.

EDIT: q est egale a 2 fois le produit des nombres premier de 2 a p moin 1

Merci


Posted by: raito123

Je ne sais pas pour les autres mais je trouve que c'est mal détaillé peux-tu donné d'avantage d'éxplication?


Posted by: mathk

Citation:
Posté par raito123
Je ne sais pas pour les autres mais je trouve que c'est mal détaillé peux-tu donné d'avantage d'éxplication?


Et bien justement le livre ne detail pas plus c'est pourquoi je ne comprend pas.
C'est aussi possible que je m'exprime pas clairement.
Quel est la parite incomprensible?


Posted by: abcd22

Bonjour,
Citation:
Posté par mathk
q = 2^2 * 3 * 5 * 7 * 11 * ... * p - 1

Il est alors affirmer que q est de la forme 4n + 3. (J'ai une vague intuition du pourquoi)

q = 4 (2 * 3 ... * p - 1) + 3

Citation:
Je ne vois pas pourquoi le fait que q ne soit pas divisible par uniquement des nombres de la forme 4n+1 implique qu'il soit divisible par un nombre premier de la forme 4n+3.

Un nombre premier différent de 2 ne peut pas être congru à 0 ou 2 modulo 4, il est donc congru à 1 ou 3. q n'est pas divisible par 2 et il a un diviseur premier non congru à 1 modulo 4, ce diviseur est donc forcément congru à 3 modulo 4.


Posted by: Imod

Une petite parenthèse culturelle : si a et b sont deux entiers premiers entre eux , il existe une infinité d'entiers naturels n tels que an+b soient premiers ( Théorème de Dirichlet ) .

Imod


Posted by: SimonB

Citation:
Posté par Imod
Une petite parenthèse culturelle : si a et b sont deux entiers premiers entre eux , il existe une infinité d'entiers naturels n tels que an+b soient premiers ( Théorème de Dirichlet ) .


Passablement difficile à démontrer d'ailleurs, tout du moins au niveau maths spé (puisque objet d'une épreuve d'Ulm il y a un certain temps).


Posted by: mathk

Merci abcd22 :) c'est genial.

Franchement, c'est nulle il pourait quand meme donne cette explication l'auteur du livre.
Je vais de ce pas anoter ton explication dans celui-ci.


Et merci aussi Imod pour ta parenthese :)


Posted by: mathk

Citation:
Posté par SimonB
Passablement difficile à démontrer d'ailleurs, tout du moins au niveau maths spé (puisque objet d'une épreuve d'Ulm il y a un certain temps).


Je me demande si par hasard un probleme difficile a demontre de tiendrait pas du fait qu'il contient beaucoup d'etapes qui sont, quand a eux surement tres simple.










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