inégalités

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Adam*

soit a,b,c,et d des rééls strictement positifs démontrer que:

(1+ab)/(1+a)+(1+bc)/(1+b)+(1+ac)/(1+c) supérieur ou égal à 3.

a/(b+2c+d)+b/c+2d+a)+c/(d+2a+b) +d/(a+2b+c) supérieur ou égal à 1.
ce n'est pas très dificile mais mérite qu'on y pense.


Posted by: samir

ona
\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+ac}{1+c}
=\frac{1+ab}{a(1+bc)}+\frac{1+bc}{b(1+ac)}+\frac{1 +ac}{c(1+ab)}
on pose
x=\frac{1+ab}{1+bc}
y=\frac{1+bc}{1+ac}
z=\frac{1+ac}{1+ab}
(xyz=1)
donc
\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+ac}{1+c}
=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{a}\frac{y}{b}\frac{z}{c}}=3
Samir


Posted by: yos

Il fallait donc abc=1. C'est gentil de ne pas l'avoir précisé. Ca rend l'exercice plus rigolo.










-