Tout d'abord, je définis une intégrale comme suit:
integrale(borne_inférieure, borne_superieure, integrande)
Un de mes bouquins dit que:
v(x) = v(y) + integrale(y,x,(dv/ds)*ds)
Jusque là, je suis d'accord. Le problème est qu'il semble en déduire
que:
|v(x)-v(y)| <= |integrale(y,x,(dv/ds)*ds)|
Or, je ne vois pas d'où ça vient, même en sachant que |a+b| <= |a| + |b|
Pour moi, il doit y avoir égalité. Non ?
Posted by: FDH
"Oodini" <svdbg_nospam@free.fr> a écrit dans le message de news:
XnF944419123630svdbgnospamfreefr@213.228.0.32...
> Bonjour,
>
> Tout d'abord, je définis une intégrale comme suit:
> integrale(borne_inférieure, borne_superieure, integrande)
>
> Un de mes bouquins dit que:
>
> v(x) = v(y) + integrale(y,x,(dv/ds)*ds)
>
> Jusque là, je suis d'accord. Le problème est qu'il semble en déduire
> que:
>
> |v(x)-v(y)| <= |integrale(y,x,(dv/ds)*ds)|
>
> Or, je ne vois pas d'où ça vient, même en sachant que |a+b| <= |a| + |b|
>
> Pour moi, il doit y avoir égalité. Non ?
Oui, il y a égalité, donc inégalité large. Où est le problème ?
Posted by: Oodini
>>Pour moi, il doit y avoir égalité. Non ?
>
> Oui, il y a égalité, donc inégalité large. Où est le problème ?
Je ne vois pas dans quel cas il peut y avoir inégalité...
Posted by: FDH
"Oodini" <svdbg@free.fr> a écrit dans le message de news: 3FCB4BC2.8010105@free.fr...
> >>Pour moi, il doit y avoir égalité. Non ?
> >
> > Oui, il y a égalité, donc inégalité large. Où est le problème ?
>
> Je ne vois pas dans quel cas il peut y avoir inégalité...
>
Je vais l'écrire en français :
Si A est égal à B, alors A est inférieur ou égal à B (c'est logiquement
évident)
L'égalité entraîne TOUJOURS l'inégalité large
Dans le même esprit : si A est strictement inférieur à B, alors A est
inférieur ou égal à B
Posted by: Oodini
>>>>Pour moi, il doit y avoir égalité. Non ?
>>>
>>>Oui, il y a égalité, donc inégalité large. Où est le problème ?
>>
>>Je ne vois pas dans quel cas il peut y avoir inégalité...
>
> Je vais l'écrire en français :
>
> Si A est égal à B, alors A est inférieur ou égal à B (c'est logiquement
> évident)
>
> L'égalité entraîne TOUJOURS l'inégalité large
>
> Dans le même esprit : si A est strictement inférieur à B, alors A est
> inférieur ou égal à B
J'avais bien compris ce que tu voulais dire, mais je ne vois pas
l'intérêt d'en venir à l'inégalité large, alors que je ne vois pas dans
quel cas ça peut être inférieur !
Sauf si on veut retrouver une formule, mais en l'occurence, ce n'est pas
le cas.
Merci néanmoins pour tes réponses. :-)
Posted by: FDH
> J'avais bien compris ce que tu voulais dire, mais je ne vois pas
> l'intérêt d'en venir à l'inégalité large, alors que je ne vois pas dans
> quel cas ça peut être inférieur !
> Sauf si on veut retrouver une formule, mais en l'occurence, ce n'est pas
> le cas.
Tout dépend de ce qu'on veut faire de cette inégalité.
C'est sûr que si on se contente de dire A=B, donc A<=B, ça n'a aucun
intérêt.
Il doit y avoir une suite dans ton bouquin. J'imagine qu'il ne se contente
pas d'écrire l'inégalité. Il doit en faire quelque chose.
Posted by: Oodini
> Tout dépend de ce qu'on veut faire de cette inégalité.
>
> C'est sûr que si on se contente de dire A=B, donc A<=B, ça n'a aucun
> intérêt.
> Il doit y avoir une suite dans ton bouquin. J'imagine qu'il ne se contente
> pas d'écrire l'inégalité. Il doit en faire quelque chose.
Je te propose de consulter la page numérisée à l'URL suivant:
Ca se passe en milieu de page, dans le voisinage de:
"On en déduit (inégalité de Schwarz) que"
Je n'ai pas de problème avec Schwarz (2nde inégalité).
D'ailleurs, si tu pouvois me dire pourquoi il veut montrer la continuité
uniforme, ça m'arrangerait. :-)
MErci.
Posted by: FDH
> Ca se passe en milieu de page, dans le voisinage de:
> "On en déduit (inégalité de Schwarz) que"
>
> Je n'ai pas de problème avec Schwarz (2nde inégalité).
> D'ailleurs, si tu pouvois me dire pourquoi il veut montrer la continuité
> uniforme, ça m'arrangerait. :-)
> MErci.
>
C'est vrai que l'inégalité |v(x)-v(y)|<=|int(dv/ds,s=x..y)| n'est pas utile.
Ce qui compte c'est ce qu'il y a après :
|int(dv/ds,s=x..y)| <= sqrt(|x-y|) sqrt(int(|dv/ds|^2,s=a..b))
La continuité uniforme est inutile, car on est sur un compact (où la
continuité simple entraîne la continuité uniforme)
En revanche, ce qui est très utile et passé sous silence, c'est l'uniforme
équicontinuité d'une famille (f_i) telle que ||d(f_i)/ds|| est majorée par
une constante M indépendante de i :
pout tout eps>0, il existe alpha>0, tq pour tout i, pour tous x,y :
|x-y|<alpha entraîne |f_i(x)-f_i(y)|<eps
(prendre alpha=eps^2/M^2)
Ce résultat est très utile parce qu'il permet d'utiliset le théorème
d'Ascoli, qui permet de montrer qu'une famille de H1([a,b]) est relativement
compacte
Posted by: Oodini
> C'est vrai que l'inégalité |v(x)-v(y)|<=|int(dv/ds,s=x..y)| n'est pas utile.
Merci. :-)
> Ce qui compte c'est ce qu'il y a après :
> |int(dv/ds,s=x..y)| <= sqrt(|x-y|) sqrt(int(|dv/ds|^2,s=a..b))
C'est également ce que j'avais compris.
> La continuité uniforme est inutile, car on est sur un compact (où la
> continuité simple entraîne la continuité uniforme)
Compact ?
Parce que la série de Fourier est définie sur un intervalle fermé et est
bornée ?
> En revanche, ce qui est très utile et passé sous silence, c'est l'uniforme
> équicontinuité d'une famille (f_i) telle que ||d(f_i)/ds|| est majorée par
> une constante M indépendante de i :
> pout tout eps>0, il existe alpha>0, tq pour tout i, pour tous x,y :
> |x-y|<alpha entraîne |f_i(x)-f_i(y)|<eps
> (prendre alpha=eps^2/M^2)
>
> Ce résultat est très utile parce qu'il permet d'utiliset le théorème
> d'Ascoli, qui permet de montrer qu'une famille de H1([a,b]) est relativement
> compacte
Conséidérant que c'est nu cours du traitement du signal, je ne suis pas
sûr que cela soit utile.
C'est d'ailleurs peut-être pour cela qu'il n'a pas utilisé la propriété
pour la continuité uniforme, car cela demandait des connaissances en
topologie, qui ne constituent pas un prérequis pour le traitement du signal.