Inégalité triangulaire

par **ludo56** » 18 Jan 2010, 20:13

Bonjour,décidément j'ai vraiment un problème l'inégalité triangulaire :
Je travaille sur le sujet d'agrégation de 2005 et j'ai l'impression que le correcteur "se refuse" à faire une inégalité triangulaire pour une famille sommable indexé par

(

) mais qu'il n'y a pas de problèmes sur une partie finie de

(

avec J une partie fini de

)
J'ai besoin d'éclaircissement :cry:

Merci!

par **barbu23** » 18 Jan 2010, 20:25

D'abord, on fait la remarque suivant :

et

sont equipotent ! :happy3:
Par conséquent :

De l'autre coté : ( facile à voir )

:

On fait ensuite tendre

et

à l'infini, et le resultat en decoule ! :happy3:

par **Arkhnor** » 18 Jan 2010, 21:05

Euh, concernant le message de barbu23, si on utilise le fait que

et

sont équipotents, on doit faire apparaitre la bijection dans les formules, parce que telles qu'elles sont écrites, c'est faux ...

Et pour écrire une somme double, on doit utiliser le théorème de Fubini pour les familles sommables, ce qui est un résultat bien plus fort que celui qu'on doit démontrer. (qui est élémentaire)

Néanmoins, l'idée est là, mais on considère une bijection entre

et

!

par **ludo56** » 18 Jan 2010, 21:48

D'accord, merci à vous deux.
Il s'agit de montrer que l'application

définie par

est continue, avec

l'espace vectoriel complexe des familles

de nombres complexe,

{

}et pour

,

Finalement,pour montrer cela il suffit donc de majorer

grâce à l'inégalité triangulaire non?
Le correcteur montre cette continuité d'abord sur un sous ensemble fini dense de

(qui est un espace de Banach) puis par le théorème de prolongement par continuité étend la continuité sur

. Je ne vois pas pourquoi il faut passé par la ,c'est pourquoi je pensais qu'il était interdit d'utiliser l'inégalité triangulaire sur

..

par **barbu23** » 18 Jan 2010, 22:42

Non ludo :

est par exemple ça :

si

et

si

:happy3:

par **barbu23** » 18 Jan 2010, 22:46

Par contre, pour l'interversion des deux sommes en applique Fubini sur la mesure de comptage, ce qui est evidemment clair ! :happy3:

par **Ben314** » 18 Jan 2010, 23:18

barbu23 a écrit:Non ludo :
est par exemple ça :
si et si
:happy3:

Il me semble que "ça", c'est pas trop dans

...
Je suis comme ludo, je vois pas bien l'interêt de passer par des sous familles finies....

par **barbu23** » 18 Jan 2010, 23:26

Non, quel etourdie :marteau: Je reponds encore à sa première question ! Je ne savais pas que c'etait une autre question ! :happy3:

Inégalité triangulaire

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