inegalité tres joli !!! ;)

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Posted by: hasni

x,y,z > 0 et xyz =< 1

Montrez que x/y+y/z+z/y >= x+y+z

merci bcp


Posted by: Zebulon

Bonsoir,
n'est-ce pas plutôt:
montrer que {x\over{y}}+{y\over{z}}+{z\over{x}}\ge{x+y+z} ?
Zeb.


Posted by: hasni

oui, excusez moi :)


Posted by: hasni

J'ai trouvé seulement:

a=x/y, b=y/z, c=z/x

Utilise AM-GM

a+b+c >= 3


Posted by: ENS

Comme $xyz \leq 1$, on a $x,y,z \leq 1$ . En particulier, $x^2 z \geq x^2 y z$ , $x y^2 \geq x y^2 z$ et $y z^2 \geq x y z^2$. En prenant la somme des ces trois dernières inégalités et en divisant le resultat par $x y z$ on conclut.


Posted by: Zebulon

Citation:
Posté par ENS
Comme $xyz \leq 1$, on a $x,y,z \leq 1$ . .

Bonjour,
ceci est faux:on pourrait avoir x>1, y={1\over{x}} et z=1 et une des inégalités est dans le mauvais sens...
Zeb.


Posted by: ENS

Milles pardons, il faut vraiment être plus propre.


Posted by: ENS

Ok, on peut faire comme ça. Si $xyz&lt;1$ , on peut echanger $x,y,z$ par $px,py,pz$ tel que $p^3 xyz=1$. Alors, la partie à gauche ne change pas et la partie à droite se devient plus grand. Donc c'est suffisant à montrer le cas $xyz=1$.
Alors, on change $z=\frac{1}{xy}$ et on trouve avec la dérivée que on obtient le minimum pour n'importe quel $x$ avec $y_0=\frac{1+\sqrt{1+3x^2}}{3 x}$ .Donc il faut minimiser la fonction $f(x)=-\frac{1}{3}x^2y_0^2-\frac{2}{3}x^3y_0+x^3-x+1$ pour $x&gt;0$ et vérifier que le minimum est plus grand que 0. Le calcul pour ça est bien direct mais un peut dificile pour écrire donc je n'écris le pas ici.


Posted by: ENS

Voilà une solution courte:

Par MA-MG on a $(\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z})/3 \geq (\frac{x^2}{yz})^{1/3} = \frac{x}{(xyz)^{1/3}} \geq x$. De manière analogique on a $(\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z})/3 \geq y$ et $(\frac{z}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y})/3 \geq z$. En sommant, on conclut.










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