Inégalité

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Posted by: steef91

Bonjour,

J'essaie de montrer que \sum_{k=n+1}^{+ \infty} \frac { (ln2)^k } { k!} \leq \frac { (ln2)^n } { n! } et je n'arrive à rien de concluant... Pourtant, je pense que ca doit vraiment pas être compliqué...

Merci d'avance

Steef


Posted by: tize

Bonjour,
il me semble qu'une simple récurrence suffit...


Posted by: steef91

Notre prof nous invite toujours à chercher autre chose que la récurrence (il a du faire un blocage dans sa plus tendre enfance...) ... Effectivement, ca doit marcher sans problème ici.
Avez vous une autre idée qu'une récurrence ?


Posted by: yos

Citation:
Posté par steef91
Notre prof nous invite toujours à chercher autre chose que la récurrence (il a du faire un blocage dans sa plus tendre enfance...) ...

ça se soigne! Sans le raisonnement par récurrence, on peut faire aucune mathématique sérieuse (ni algèbre linéaire, ni analyse, ni arithmétique...), mais on peut faire des récurrences déguisées parfois (séries télescopiques par exemple).
Ici, je poserais \displaystyle f_n(x)=\sum_{k\geq n+1}\frac{x^k}{k!}-\frac{x^n}{n!} et j'étudierais le signe de la dérivée (en effet ce \ln2 me semble décoratif. Mais j'ai pas dit que tout réel x convient!).


Posted by: fahr451

bonjour
x = ln 2
factoriser par x^(n+1)/(n+1)! et majorer la série restante par la série géométrique de raison x/(n+1)

sauf erreur l 'inégalité est valable pour x=< (n+1) /2 donc ici n >0










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