Inégalité 0

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Posted by: darkmaster

Bonjour à tous,
Soient a,b,c>0 tels que a^2+b^2+c^2=1
Démontrer que \frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \leq \frac92
Bonne chance!


Posted by: samir

Citation:
Posté par darkmaster
Bonjour à tous,
Soient a,b,c>0 tels que a^2+b^2+c^2=1
Démontrer que \frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \leq \frac92
Bonne chance!

on a
la fonction x----> \frac{1}{1-x} est concave sur IR+
alors
\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}<br /> \leq \frac{9}{3-(ab+bc+ac)}
d'autre par
ab+bc+ac \leq a^2+b^2+c^2 =1
càd
\frac{9}{3-(ab+bc+ac)} \leq \frac92
d'ou

\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \leq \frac92

samir idamia


Posted by: darkmaster

Citation:
Posté par samir
on a
la fonction x----> \frac{1}{1-x} est concave sur IR+


sûr?


Posted by: samir

j'ai pas fait attention
f est concave sur ]1,+l'infini[


Posted by: namfoodle sheppen

voici une solution plutôt repoussante(donc je saute les grosses étapes de calcul);
-soit (a,b,c) verifiant les conditions intiales; alors en remplaçant (a,b,c) par (x,x,c) avec x=sqrt((a²+b²)/2); les conditions intiales sont toujours vérifiées. De plus on prouve que si a<b, a< sqrt((a²+b²)/2)<b.
- on remplace dans l'inégalité a et b par x et on prouve que
1/(1-x²)+2/(1-cx)>=1/(1-ab)+1/(1-ac)+1/(1-bc) (on utilisie l'IAG dans x, puis on étudie le résultat).
- on en conclut donc que l'expression est maximum pour a=b=c. C'est a dire quand a=1/(sqrt(3)). On calcule l'expression pour a=b=c et on trouve 9/2, d'ou le resultat.
Dites moi si vous voulez plus de détails.


Posted by: darkmaster

Citation:
Posté par namfoodle sheppen
voici une solution plutôt repoussante(donc je saute les grosses étapes de calcul);
-soit (a,b,c) verifiant les conditions intiales; alors en remplaçant (a,b,c) par (x,x,c) avec x=sqrt((a²+b²)/2); les conditions intiales sont toujours vérifiées. De plus on prouve que si a<b, a< sqrt((a²+b²)/2)<b.
- on remplace dans l'inégalité a et b par x et on prouve que
1/(1-x²)+2/(1-cx)>=1/(1-ab)+1/(1-ac)+1/(1-bc) (on utilisie l'IAG dans x, puis on étudie le résultat).
- on en conclut donc que l'expression est maximum pour a=b=c. C'est a dire quand a=1/(sqrt(3)). On calcule l'expression pour a=b=c et on trouve 9/2, d'ou le resultat.
Dites moi si vous voulez plus de détails.


huhm, je connais un peu de cette méthode, elle s'appelle "Mélangeage de variables" ou quelque chose comme ça. Peut-etre tu es correct, mais utilisation de cette méthode exige trop de calcul. Normalement, j'utilise pas cette méthode.
Je propose une autre méthode:
\frac{1}{1-ab}-1 = \frac{ab}{1-ab}
L'inégalité devient
\frac{ab}{1-ab}+\frac{ab}{1-ab}+\frac{ab}{1-ab}\leq \frac32
On a
\frac{ab}{1-ab}=\frac{2ab}{2a^2+2b^2+2c^2-2ab}\leq \frac12 \frac{(a+b)^2}{(c^2+a^2)+(c^2+b^2)+(a-b)^2}\leq \frac12 \frac{(a+b)^2}{(c^2+a^2)+(c^2+b^2)} \displaystyle{\leq^{Cauchy-Sshwartz}}\frac12(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{b ^2+c^2})
Par le même façon , on trouve 3 inégalités, en ajoutant on a:
\frac{ab}{1-ab}+\frac{ab}{1-ab}+\frac{ab}{1-ab}\leq \frac12.(1+1+1)=\frac32
Merci quand même pour ta solution.


Posted by: namfoodle sheppen

Citation:
Posté par darkmaster
huhm, je connais un peu de cette méthode, elle s'appelle "Mélangeage de variables" ou quelque chose comme ça.

Oui ou lissage vers la moyenne aussi. C'est vrai que ta démonstration a le mérite d'être (presque) directe.


Posted by: fahr451

c 'est quoi L 'IAG s'il vous plait?


Posted by: namfoodle sheppen

IAG : inégalité arithmético-géométrique: soit a1,a2,...,an n réels strictement positifs, alors (a1+a2+...+an)/n>=(a1*a2*...*an)^(1/n)
tu peux la démontrer en utilisant la concavité de la fonction logarithme


Posted by: MikO

faut vraiment que j'etudie les inegalites moi :p


Posted by: fahr451

merci
vi je connais l'inégalite mais pas son abréviation faudrait plutôt l'appeler alors

IAGH à toi de me dire pourquoi : )


Posted by: namfoodle sheppen

peut-être parce que c'est une conséquence de l'inégalité de Hölder...


Posted by: fahr451

ah non :)

moyenne Arithmétique,moyenne Géométrique et moyenne ...


Posted by: namfoodle sheppen

harmonique dans ce cas ;)


Posted by: fahr451

vi:)
sérieusement il y a une inégalté qui revient souvent dans vos réponses d'exos d'olympiades que j'avoue ne pas connaitre

inégalité de Mulder ( et Scully?) ou Murray

qu est ce s'il te plait ?


Posted by: namfoodle sheppen

Je ne connais pas ton inégalité; mais vas voir sur le site d'animath, il y aura tout ce que tu veux savoir à ce sujet (à moins que tu ne parles de celle de Muirhead ?).


Posted by: fahr451

voila muirhead merci


Posted by: namfoodle sheppen

http://www.animath.fr/cours/inegalites.pdf chapitre 5 il y aura tout ce que tu veux sur cette inégalité en beaucoup mieux expliqué que je ne le ferais.


Posted by: fahr451

merci pour ce beau lien très agréable à lire

finalement dans ce cours muirhead est l'inégalité délicate.










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