une inégalité

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Posted by: khaclong

Soit
x,y,z \in R
et
x^2+y^2+z^2=2
Montrez que
x+y+z \leq 2+xyz


Posted by: darkmaster

Salut, mon ami
Je suis surpris que tu retiens encore ce problème, ça fait trop longtemps depuis le temps que l'on a apprendu celui-là.
Je vais essayer de démontrer encore une fois cette inégalité le matin. Maintenant je dois dormir.


Posted by: darkmaster

Citation:
Posté par darkmaster
Salut, mon ami
Je suis surpris que tu retiens encore ce problème, ça fait trop longtemps depuis le temps que l'on a apprendu celui-là.
Je vais essayer de démontrer encore une fois cette inégalité le matin. Maintenant je dois dormir.


Je change ma décision. Je viens de souvenir la solution. Alors, on ne doit pas attendre le matin.

On va montrer que \mid x+y+z-xyz \mid \leq 2
on a 2=x^2+y^2+z^2 \geq x^2+y^2 \geq 2\mid xy \mid donc 1 \geq \mid xy \mid
Par Cauchy-Schwartz:
(x+y+z-xyz)^2 = (z(xy-1)+(-1)(y+x))^2 \leq (z^2+(y+x)^2)(1+(xy-1)^2)=(2+2xy)(2-2xy+(xy)^2)=4-2(xy)^2(1-xy) \leq 4
Alors \mid x+y+z-xyz \mid \leq 2 qui conduit le résultat.










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