Mathématiques - Inégalité

Inégalité
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Posted by: yos

Bonjour.
Je propose l'exercice suivant :

Trois réels a, b, c, sont tels que $\large{b^2-4ac\geq 0}.$
Démontrer que $\large{a+b+c\leq \frac{9}{4} \max(a,b,c)}$ .

Posted by: Imod

J'ai commencé à regarder cet exercice ( intéressant ) ce soir , il me reste à démêler le cas épineux où a , b et c sont simultanément négatifs .

Imod

Posted by: yos

J'ai trouvé une solution qui n'utilise pas le trinôme ax²+bx+c. Je dois passer à côté de quelquechose.

Posted by: Imod

Une proposition de solution , en espérant ne pas m'être trompé avec toutes ces inégalités ( je n'utilise pas de trinôme non plus ) . Je pensais , j'espère à tort , que la fin ne marchait pas quand a , b et c étaient simultanément négatifs mais en fait il n'en est rien .

A/ On se place d'abord dans le cas a=c , il faut montrer que :si $|b|\geq 2|a|$ , $2a+b\leq \frac{9}{4}.Max\{a;b\}$ .

1°) Si $b \geq 2|a|$ alors $b\geq 0$ et $Max\{a;b\}=b$ : $2a+b \leq 2b \leq \frac{9}{4}.Max\{a;b\}$ .

2°) Si $b\leq -2|a|$ alors $b \leq 0$ .

a) Si $a \geq 0$ : $2a+b \leq 2a \leq \frac{9}{4}Max\{a;b\}$ .

b) Si $a \leq 0$ alors $b \leq 2a \leq a$ et $2a+b \leq 4a \leq \frac{9}{4}a \leq \frac{9}{4}.Max\{a;b\}$ .

La propriété est donc établie dans tous les cas .

B/ Plaçons-nous maintenant dans le cas général , a , b , c donnés avec $b^2\geq 4ac$ et montrons que : $a+b+c\leq \frac{9}{4}Max\{a,b,c}$

Remarquons tout d'abord que pour tous réels $a , b , c$ : $Max\{\frac{a+c}{2};b\}\leq Max\{a;b;c\}$ .

Comme $b^2\geq 4ac$ , $b^2\geq (a+c)^2-(a-c)^2\geq (a+c)^2$ donc $|b|\geq |a+c|$ . On peut donc appliquer la partie A/ à $b$ et $\frac{a+c}{2}$ :

$a+b+c=b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}\leq \frac{9}{4}Max \{b;\frac{a+c}{2}\}\leq \frac{9}{4}Max\{a;b;c\}$ .

Imod

Posted by: yos

Pas mieux :
j'ai évité la distinction de cas en raisonnant par l'absurde mais ça reste fastidieux.
Si l'inégalité est fausse, alors :
4a+4b+4c>9a, 4a+4b+4c>9b, et 4a+4b+4c>9c.
On en tire a<4b, a<4c, b<4a, b<4c, c<4a, c<4b puis a, b, c>0.
On peut alors majorer b²-4ac par 4ab-4ac et en déduire b>c, et de même b>a.
Avec 4a+4b+4c>9b on trouve a+c>5b/4, puis (a+c)²>25b²/9,
(a+c)²>25ac/4, et finalement (c/a)²-(17/4)(c/a)+1>0 On en déduit c/a hors de l'intervalle [1/4; 4], ce qui contredit les inégalités c<4a, a<4c.

Une solution courte reste à faire.

Posted by: Imod

En tout cas le rôle du $\frac{9}{4}$ reste mystérieux car ce n'est sûrement pas le meilleur majorant possible , 2 aurait aussi bien fait l'affaire .

Peut-être sommes nous tous les deux dans l'erreur ?

Imod

Posted by: yos

Citation:

Posté par Imod

En tout cas le rôle du $\frac{9}{4}$ reste mystérieux car ce n'est sûrement pas le meilleur majorant possible , 2 aurait aussi bien fait l'affaire .

Non : (a,b,c)=(1,4,4) montre que la constante est optimale.

Posted by: Imod

En effet la constante est optimale et ma démonstration fausse . J'ai retrouvé l'erreur : $b^2\geq (a+c)^2-(a-c)^2\geq(a+c)^2$

La dernière inégalité est à l'envers

Imod

Posted by: MikO

salut yos ! ca faisait longtemps ...

$b^{2}-4ac \geq 0 \leftrightarrow \exist (u,v) \in \mathbb{R}^{2} / -b=u+v$ et $c=u.v$

tout part de la il me semble :)

Posted by: yos

Citation:

Posté par MikO

salut yos ! ca faisait longtemps ...

$b^{2}-4ac \geq 0 \leftrightarrow \exist (u,v) \in \mathbb{R}^{2} / -b=u+v$ et $c=u.v$

tout part de la il me semble :)

Salut (mais ton pseudo ne me dit rien).
C'est pas plutôt u+v=-b/a et uv=c/a ?
Et ensuite?

Posted by: sandrine_guillerme

ah tiens ce n'est pas toi le célébre Mikou .. qui était proscris .. ???

Posted by: MikO

je ne sais pas si l'on peut dire 'celebre' mais c'est bien ca.
En effet yos :) jv essayer de retrouve la methode que javais utilisé

Posted by: sandrine_guillerme

.. ça ne me derange pas du tout .. mais ça ne me derange pas du tout (réponse au message privé) au contraire .. il faut juste repecter sinon .. c'est dehors ..

Bon courage pour ta méthode .

Posted by: Imod

Je pense avoir trouvé une interprétation géométrique du problème ( qui lui donne tout son sens ) , je le poste dès qu'il fait moins d'une page

Imod

Posted by: Imod

http://img120.imageshack.us/img120/2599/maximumiv3.jpg

Une solution uniquement pour le cas où a , b et c sont positifs . On fixe b et d=a+c .

Si $b\geq \frac{4}{5}d$ alors $a+b+c = b+d \leq\frac{9}{4}b \leq\frac{9}{4}Max\{a,b,c\}$

Si $0 \leq b\leq \frac{4}{5}d$ . On considère un cercle (C) de rayon d de diamètre [BC] et (D) la parallèle à (BC) à la distance b de (BC) . Un point M se projette orthogonalement en H sur [BC] et N le symétrique de H par rapport à M on a : HB=2a , HC=2c et HN=2b . La condition $b^2\geq 4ac$ se traduit géométriquement par M est à l'extérieur de (C) . En considérant A le point d'intersection de (C) et (D) le plus proche de C , on a $BH \geq\frac{8}{5}d$ et comme $0 \leq b\leq \frac{4}{5}d$ , $2a+2b+2c \leq\frac{18}{5}d\leq\frac{9}{4}BH$ et finalement : $a+b+c \leq \frac{9}{4}Max\{a,b,c\}$ .

En fin de compte , c'est quand même laborieux pour simplement une partie de la solution .

Imod

Posted by: darkmaster

Dans le cas il y a un nombre négatif, c'est facile.
Par example, si $a<0$ on a $a+b+c < b+c < 2max\{a,b,c\} < \frac94 max\{a,b,c\}.$
Mais dans le cas $a,b,c \geq 0$ , je ne comprends pas encore la méthode de Imod.

Posted by: Imod

http://img242.imageshack.us/img242/3706/maximum2sd6.jpg

Je vais essayer d'être plus clair . Je me place dans le cas où a , b et c sont positifs et $b\leq \frac{4}{5}(a+c)$ . On peut supposer par exemple que $a \leq c$ . On considère alors un triangle AMB de hauteur MH avec CH=2a , BH=2c et MH=b . La condition $b^2\geq 4ac$ est équivalente à M n'est pas à l'intérieur du disque de diamètre [BC] . Alors $BH \geq\frac{8}{5}(a+c)$ ou encore $(a+c)\leq\frac{5}{8}BH$ . Or $a+b+c\leq b+(a+c)\leq\frac{9}{5}(a+c)\leq \frac{9}{8}BH\leq\frac{9}{4}c$ .

Imod

P.S : ta dernière inégalité est fausse si a , b et c sont tous les 3 négatifs .

Posted by: darkmaster

Citation:

Posté par Imod

P.S : ta dernière inégalité est fausse si a , b et c sont tous les 3 négatifs .

Oui, je veux ajouter: dans ce cas
$a+b+c < 3max\{a,b,c\}< \frac94max\{a,b,c\}$
Et maintenant je comprends ta méthode - très intéressante. J'aime toujours la méthode géométrique pour les problèmes d'algèbre.

Posted by: Imod

Oui darkmaster . Nous voilà donc avec une solution complète plutôt sympathique .

Merci à yos pour ce joli problème

Imod

Posted by: sandrine_guillerme

J'ai une remarque (qui sert pas à grands choses mais bon .. ).. il y a une symétrie entre a et c , en d'autre termes l'exercice est aussi valable avec $\rm \Large a^2-4bc\ge 0$ ou $\rm \Large c^2-4ab\ge 0$
c'est curieux comme exo .
merci d'ailleurs

Posted by: sandrine_guillerme

Si a et c sont de signe contraire (par exemple a > 0 et c < 0), b² - 4ac >= 0 est toujours satisfait.

Si b > a, b est forcément > 0 alors :

max(a,b,c) = b

Comme a et c sont de signe contraire (avec a > 0) , a + c < a

Avec b > a , on a alors : a + c (9/4).b , il faudrait :

a + c > (5/4).b , c'est donc impossible.

Conclusion:

Si a et c sont de signe contraire et b plus grand que a et b, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
---
Si a et c sont de signe contraire (par exemple a > 0 et c < 0), b² - 4ac >= 0 est toujours satisfait.

Si a > b, alors max(a,b,c) = a

Pour avoir a + b + c > (9/4)max(a,b,c), il faudrait que: a + b + c > (9/4).a

soit b + c > (5/4).a

Comme c est négatif, on a: b + c Il faudrait b > (5/4).a, soit b > a , ce qui est contraire à l'hypothèse.

Conclusion :

Si a et c sont de signe contraire et a plus grand que b et c, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
---
En regroupant les résultats, on trouve:

Si a et c sont de signe contraire, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
-----
Il reste à envisager le cas avec a et c de même signe.

Posted by: sandrine_guillerme

Bonjour,

J'ai réelement adoré cet exercice,
voici une autre méthode .

Je raisonne par contraposée en montrant que pour tous rééls a,b,c a+b+c>9/4max(a,b,c) implique b^2<4ac
Allons y :

donns nous alors trois réels a,b,c tq a+b+c>9/4max(a,b,c) ce qui veut dire simplement qu'on a
a+b+c>9/4a
a+b+c>9/4b
a+b+c>9/4c
ce qui s'écrit aussi
max(5/4a-c,5/4c-a)<b<4/5(a+c)

et comme max(x,y)= (x+y+|x-y|)/2 on a (a+c)/8+9/8|a-c|<b<4/5(a+c) ce qui donne en particulier |a-c|<3/5(a+c) (Remarquer que a+c>0 et par suite b>0 .

en élevant au carré cette dernière inégalité on a (a+c )^2-4ac<9/25(a+c)^2
c'est à dire 16/25(a+c)^2<4ac
CQFD

yos, et imod .. ne vous foutez pas de moi si j'ai commis une bétise, je suis encore au début du parcours mais vous pourriez me corriger svp ?????

Merci d'avance .

Posted by: yos

C'est bien. Ca ressemble à ce que j'ai fait (message 5), et c'est peut-être plus court. Bravo.
J'espèrais une preuve très courte utilisant ax²+bx+c et son discriminant mais c'est pas sûr que ça existe.

Posted by: sandrine_guillerme

Oui c'est vrai je ne pense pas .. mais bon après tout j'ai des idées très limités ..

Posted by: leibniz

Voici une généralisation de ce résultat:

Pour tout polynôme réel $P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k$ de degré n, admettant que de racines réels, On a:
$\left\{\begin{array} {rcl} \displaystyle P(1)= \sum\limits_{k=0}^{n}a_k &\le& \displaystyle \alpha_n\cdot\max\limits_{j}{a_j} \\ &&\\ \displaystyle \min\limits_{j}{a_j}&\le&\displaystyle \beta_n\cdot \max\limits_{j}{a_j}\; \\ &&\\ \end{array}\right.$ Avec : $\large\left\{\begin{array} {lcl} \alpha_n &=&\displaystyle \frac{(n+1)^n}{{n\choose s}(n-s)^{n-s}(s+1)^s}\\ &&\\ \beta_n&=&\displaystyle {n\choose s}^{-1} \end{array}\right.$ et $s=E\left(\frac{n}{2}\right)$ et $\alpha_n$ et $\beta_n$ sont optimales.

Posted by: yos

Merci Leibniz. Tu as une référence pour ces inégalités?

Posted by: leibniz

Citation:

Posté par yos

Merci Leibniz. Tu as une référence pour ces inégalités?

Désolé pour le retard!
En fait, J'ai trouvé (sur un site) que la question était publiée à:
Moser L. and J.R.Pounder , Problem 53 , Canad.Math.Bull., 5,70(1962).
Et la généralisation était prouvée ici:
Dixon J.D. , Polynomials with real roots , Canad.Math.Bull., 5, (1962) 259-263.

Mais je n'ai pas trouvé de démos sur le site.

EDIT: Essaie avec le service books de google ça doit donner quelque chose.