Inégalité

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Posted by: PooShy

En voilà encore un trivial :


Soit x,y,z des réels positifs tels que xyz\geq1

Montrer :

\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\,\geq0


Bonne chance.


Posted by: Mohamed

olympiades internationales 2005.....


Posted by: PooShy

Beuh et alors, la solution est tellement astucieuse qu'elle tient en 20 lignes, et que le jury ne l'avait pas vue.


Posted by: PooShy

Alors alors ? Qui crackera mon égalité à la fin ? :p


Posted by: darkmaster

Citation:
Posté par PooShy
Alors alors ? Qui crackera mon égalité à la fin ? :p

Moi
Cet inégalité équivaut à
(\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}-1)+(\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}-1)+(\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}-1)\geq -3
ça fait
(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{y^5+z ^2+x^2}+\frac{1}{z^5+x^2+y^2}) \leq 3
Par BCS inégalité:
(x^2+y^2+z^2)^2 = (x^2\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}+y.y+z.z)^2 \leq (x^4.x+y^2+z^2)(\frac1x+y^2+z^2)
xyz \geq 1 alors \frac1x \leq yz
(x^2+y^2+z^2)^2 \leq (x^4.x+y^2+z^2)(\frac1x+y^2+z^2) \leq (x^5+y^2+z^2)(yz+y^2+z^2) \leq (x^5+y^2+z^2)(\frac32(y^2+z^2))
Donc \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \leq \frac{\frac32(y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}
Et après sommer les inégalités pour obtenir le résultat.


Posted by: samir

voici ma solution pour ce problème déja sur maths -express
http://www.maths-express.com/bac-ex...lymp05/exo3.php










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