une inégalité*

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Posted by: Mohamed

Salut,
Voici une inégalité :

Montrer que \forall (a,b,c)\epsilon R+* on a :

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{a^8 +b^8 + c^8}{a^3b^3c^3}


Posted by: musichien

On passe dans l'autre membre le dénominateur, et ça donne (somme symétrique (3,3,2))/2 inférieur à (somme symétrique (8;0;0))/2, ce qui est bien vrai (Muirhead).


Posted by: khaclong

salut,je viens de trouver une autre solution pour ce problème
On peut utiliser l'inégalité suivant:
x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx
on aura:
a^8+b^8+c^8=(a^4)^2+(b^4)^2+(c^4)^2\geq (ab)^4+(bc)^4+(ca)^4
et
(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4=(a^2b^2)^2+(b^2c^2)^2+(c^2a^2 )^2\geq a^2b^4c^2+a^4b^2c^2+a^2b^2c^4=a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^ 2)\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ca)
on conduit que
\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq\frac{a^2b^2c^2(a b+bc+ca)}{a^3b^3c^3}=\frac1a+\frac1b+\frac1c
on l'a montré










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