Inégalité d'Oleinik

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: MisterL

Bonsoir !!!!

Petit pbm, j'espère que vous allez pouvoir m'aider !!!!


Je suis obligé de donner une petite définition avant de pouvoir vous expliquer mon problème :

On définit l'inégalité d'Oleinik ainsi :
Soit u ∈ L∞([0, T[×R). On dit que u satisfait `a une inégalité d’Oleinik si et seulement si
∃C :]0, T[−→ R décroissante telle que
u(t, y) − u(t, x) ≤ C(t)(y − x) ∀y ≥ x, ∀t > 0.

on peut donc aussi écrire que u satisfait l'égalité d'Oleinik si : u(t, y) − u(t, x) ≤ (y − x)/t ∀y ≥ x, ∀t > 0





Soit par exemple l'équation v : ( pour t quelconque fixé positif )

v(t,x)=
0 si x < 0
x/t si 0 ≤ t ≤ x
1 si x > t

v(t,.) est C0 sur R et C1 par morceaux sur R.

La dérivée partielle de v par rapport à x est :

dx v(t,x)=
o si x < 0
1/t si 0 ≤ x ≤ t
0 si x > t

( dx v est la dérivée partielle de v par rapport à x )

Ici, on doit pouvoir en déduire ceci : ( mais je ne vois pas pourquoi? )
( v(t,y) - v(t,x) ) / ( y - x ) ≤ 1/t ,∀y ≥ x, et pour tout t positif.
On retrouve l'inégalité d'oleinik qui est ainsi vérifié.( en mulitipliant par y-x > 0


Autre exemple avec la fonction a définit par : ( pour t positif fixé )

a(t, x) =
−1 si x ≤ 0,
1 si x > 0


d'où

dx a(t, x) =
0 si x ≤ 0
0 si x > 0

Ainsi ( a(t,y) - a(t,x) ) / ( y - x ) ≤ 0

et on a l'inégalité,
( a(t,y) - a(t,x) ) ≤ 0 ≤ (y-x) / t

C'est cette dernière ligne qui me pose pbm parce que je devrai trouver que le fonction a ne vérifie par l'inégalité!


....................


Merci beaucoup à ceux qui se donneront la peine de me répondre !


Posted by: tize

Citation:
Posté par MisterL
...
Ici, on doit pouvoir en déduire ceci : ( mais je ne vois pas pourquoi? )
( v(t,y) - v(t,x) ) / ( y - x ) ≤ 1/t ,∀y ≥ x, et pour tout t positif.
On retrouve l'inégalité d'oleinik qui est ainsi vérifié.( en mulitipliant par y-x > 0...

Bonjour,
tu as montré que la dérivée de v(t,.) est majorée par 3$\frac{1}{t}, l'inégalité des accroissements finis nous montre donc directement ce que tu cherches.

Citation:
Posté par MisterL
...
dx a(t, x) =
0 si x ≤ 0
ça n'est pas exact, en 0 la fonction n'est pas dérivable à droite...on ne peut donc pas appliquer l'inégalité des accroissements finis sur \mathbb{R} tout entier.
La fonction "a" ne vérifie pas l'inégalité car pour tout x&gt;0, on a :
a(t,x)-a(t,-x)=1-(-1)=2 et \frac{x-(-x)}{t}=\frac{2x}{t} et on a pas 2&lt;\frac{2x}{t} pour tout x&gt;0 avec t fixé.


Posted by: MisterL

Voilà , j'ai compris ! C'est exactement ça.



Merci!










-