Inégalité Difficile.

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Posted by: _-Gaara-_

Bonsoir,

je propose un petit exercice pour cette soirée, de quoi bien s'endormir

On prends x, y, z de l'intervalle ]0; \fr{\pi}{2}];

Montrez que
\frac{x.cos(x)+y.cos(y)+z.cos(z)}{x+y+z} \leq \frac{cos(x)+cos(y)+cos(z)}{3}

Bonne chance.


Posted by: ThSQ

Ca se torche avec l'inégalité du réordonnement.

cos est décroissante donc (x,y,z) et (cos(x),cos(y),cos(z)) sont rangés en sens inverse.

Donc x.cos(x)+y.cos(y)+z.cos(z) \leq y.cos(x)+z.cos(y)+x.cos(z)
et pareil avec les 2 autres combinaisons.
Il suffit ensuite de sommer les trois inégalités et de diviser par x+y+z.


Posted by: lapras

Salut ThSQ, j'ai essayer de regarder sur le net "inégalité du réordonnement", mais je ne trouve aucun cour dessus, peux tu me la montrer ?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par lapras
Salut ThSQ, j'ai essayer de regarder sur le net "inégalité du réordonnement", mais je ne trouve aucun cour dessus, peux tu me la montrer ?


http://www.animath.fr/cours/inegalites.pdf (page 9)


Posted by: lapras

Merci !
Je ne connaissais pas le cour d'inégalités d'animath !


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
"inégalité du réordonnement"


Ca s'appelle "Rearrangement inequality" in english in ze text. Si tu veux concourir aux OIM (ce qui a l'air d'être ton cas ;) ) c'est un truc à connaître absolument !

http://en.wikipedia.org/wiki/Rearrangement_inequality

Google donne d'ailleurs des liens plus qu'intéressants en anglais !
http://pims.math.ca/pi/issue2/page21-23.pdf par exemple.


Posted by: lapras

merci ThSQ :)
Enfin pour participer aux OIm faut déja etre dans l'équipe francaise :p
Pas gagné mdr
cette inégalité est énorme !!
Elle va me servir je le sens, je viens de faire 5 exos ce matin sur les inégalités et j'ai réussi les 5 avec l'inégalité du réordonnement :)
Faut que je m'entraine aux inégalités !


Posted by: _-Gaara-_

Eh ben !

c'est magnifique tout çà !

Bravo les gars.


Posted by: Alpha

Oui, c'est vraiment intéressant tous ces liens... Dommage que des "associations" (je ne sais pas si c'en est vraiment une) comme animath ne se fassent pas davantage connaître...


Posted by: _-Gaara-_

C'est clair que c'est trop dommage :(

Moi par exemple je ne connaissais pas

Mais bon les liens sur le net sont toujours utiles


Posted by: Alpha

Oui, il suffirait que les profs de lycée en parlent, mais pour ça faut qu'ils connaissent eux aussi... J'aurais vraiment aimé découvrir ça en 1ère.

En tout cas c'est vraiment super :)


Posted by: bitonio

Hum j'adore cette inégalité qui permet -comme le résume si bien ThSQ- de "torcher" un bon nombre d'exos

Merci pour le tuyau!


Posted by: _-Gaara-_

Citation:
Posté par bitonio
Hum j'adore cette inégalité qui permet -comme le résume si bien ThSQ- de "torcher" un bon nombre d'exos

Merci pour le tuyau!


à nous les inégalites !


Posted by: Joker62

Moi j'ai jamais rien compris, alors c'est pas demain la veille que j'vais lire votre pdf lol :D
même si je l'ai mis dans mes favoris :)


Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par ThSQ
Ca se torche avec l'inégalité du réordonnement.

cos est décroissante donc (x,y,z) et (cos(x),cos(y),cos(z)) sont rangés en sens inverse.

Donc x.cos(x)+y.cos(y)+z.cos(z) \leq y.cos(x)+z.cos(y)+x.cos(z)
et pareil avec les 2 autres combinaisons.
Il suffit ensuite de sommer les trois inégalités et de diviser par x+y+z.


Salut ThSQ,
Je vois pas pourquoi tu n'as pas utilisé inégalité de tchebychev Directement!!!
Le voila: Sans perte de généralité on peut supposer que x≥y≥z alors cos(z)≥cos(y)≥cos(x) (car fonction cosinus est décroissante sur [0;pi/2]
Puisque les terme sont rangé d'un sens inverse alors par inégalité de chebyshev on a x.cos(x)+y.cos(y)+z.cos(z) ≤(x+y+z)(cosx+cosy+cose)/3
A+


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par ~oa~
Salut ThSQ,
Je vois pas pourquoi tu n'as pas utilisé inégalité de tchebychev Directement!!!


Y'a rarement une solution unique et ici je vois pas pkoi ta solution est plus simple ou plus "directe".


Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par ThSQ
Y'a rarement une solution unique et ici je vois pas pkoi ta solution est plus simple ou plus "directe".

Bonjour,
Parce que tu as fais une démonstration de l'inégalité de tchebychev a la place de l'appliquée directement!!


Posted by: raito123

salut,
cela revient au même de plus des exo de la sorte demande démontrer un théoreme ou quelque chose donc il ne faut pas faire des applications directes!!!


Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par raito123
salut,
cela revient au même de plus des exo de la sorte demande démontrer un théoreme ou quelque chose donc il ne faut pas faire des applications directes!!!

Ahlan Ayman
C'est évident le théorème de réordonnement pour toi?


Posted by: raito123

bonjours,
D'aprés s'être documenter sur , bah un peu!!


Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par raito123
bonjours,
D'aprés s'être documenter sur , bah un peu!!


Alors sache que Par le réordonnement L'inégalité de tchebychev est démonter !


Posted by: raito123

Ah bon je savais pas!!!
mais arrête normalqu'il est démontrer mais est-ce que la réponse qu'attendrais un correcteur?


Posted by: ~oa~

lol , j'ai juste remarqué ! mais si on utilise les théorèmes dans nos outils alors pourquoi pas utilisé ceux qui sont plus directe et simple! n'est ce pas raito?










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