3) Inégalité à démontrer

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Posted by: nekros

Salut

Soient 4$x et 4$y deux réels strictements positifs tels que \blue\fbox{4$x+y=8}

Montrer qu'alors : \blue\fbox{4$(x+\frac{1}{y})^2 + (y+\frac{1}{x})^2 \ge \frac{289}{8}}

Bonne réflexion...


Posted by: Rain'

On remplace y par 8-x à gauche de l'inégalité.

Et on étudie la fonction sur ]0,8[.
f(x) = (x+1/(8-x))²+(8-x+1/x)²

En dérivant ça fait :

f'(x) = 4 (x-4) (x²-8t-1) (x^4-16x^3+65x²-8x+64) / ((x^3)(x-8)^3)

Etant donné le domaine de définition le dénominateur ne s'annulle pas.

On cherche les zéros de f'

Pour x-4, on a x=4
Pour x²-8t-1 on a -(sqrt(17)-4) et sqrt(17)+4 qui sont hors du domaine de définition.
Enfin x^4-16x^3+65x²-8x+64 n'admet pas de racines réelles.

Les limites quand x tend vers 0 et 8 de f sont +inf.
f est donc minimale en x=4 et on trouve f(4) = 289/8

D'où l'égalité.

Mais doit y avoir plus court je pense.


Posted by: khaclong

Salut!J'ai une autre solution pour ce problème
On a
(x+ \frac1y)^2 + (y+ \frac1x)^2=(x^2+y^2)(1+\frac{1}{(xy)^2})+2(\frac xy+\frac yx)
Ensuite, on utilise les inégalités
x^2+y^2\geq \frac12 (x+y)^2=32
\frac14 (x+y)^2\geq xy Donc,16\geq xy
\frac xy +\frac yx \geq 2
On a (x+ \frac1y)^2 + (y+ \frac1x)^2 \geq \frac{289}{8}on admet Min quand x=y=4


Posted by: dragonmaster

On a :
2(x+\frac{1}{y})^2 + 2(y+\frac{1}{x})^2 \geq (x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2 \geq (x+y +\frac{4}{x+y})^2 = (8 + \frac{1}{2})^2 = \frac{289}{4}
Alors , ... . C'est pas mal , huh .


Posted by: Joker62

Bravo Bravo lol très joli


Posted by: dragonmaster

Qui a une autre solution ?










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