Inegalite dans N

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Posted by: Purrace

Bonjour, je suis arriver dans mon dm a une question qui me semble ressembler a une question de terminale mais qui me pose probleme.

On doit demontrer que somme des 1/k de k=1 ak=n est comprise entre ln(n)-1/n et ln(n)+1 sachant qu'on avait verifier que l'integrale da [k , k+1] de dt/t etait compris entre 1/(k+1) et 1/k.

Bon ce que j'ai fait c'est que j'ai somme les deux menbres interressant de l'inegalite mais j'arrive pas au resultat.

Si vous pouviez m'aidez , merci beaucoup d'avance.


Posted by: Purrace

Pardon mais je bug encore sur une autre question d'un autre exercice , on a Fn(x)=1-x^n*exp(-x) , on a demontrer que f admet deux racines sur R+ notee 1<Un<Vn et on cherche le signe de Fn(Un-1) et apres on doit en deduire sa monotonie.

Bon au premier rabort je dirait que c'est positif car on a f qui decroit et que Un est une racine , en considerant Un-1<Un on a donc Fn(Un)=0<Fn(Un-1) .

Merci pour la verification , mais si vous pouviez repondre aussi a la question 1 , ce serait gentil merci d'avance.


Posted by: prody-G

salut,

Pour l'inégalité de gauche :

4$\sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}\leq\sum_{k= 1}^n\frac{1}{n}

Or 4$\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}=ln(k+1)-ln(k)
=>4$\sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}=ln(n+1)\leq \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}
et puisque 4$ln(n+1)\geq ln(n)-\frac{1}{n}
on en déduit 4$ln(n)-\frac{1}{n}\leq\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}

après pour l'inégalité à droite je cherche encore...


Posted by: Purrace

Merci de m'avoir repondu mais en fait je me suis goure dans l'enoncé c'est ln(n)+1/n et -1/n .

Pardon , mais merci tout de meme.


Posted by: prody-G

ah oki alors démontre que ln(n+1)&gt;ln(n)+\frac{1}{n} en étudiant le sens de variation de 4$x\to ln(x+1)-ln(x)-\frac{1}{x}|x\in\mathbb{R}_{+}^*.

EDIT : ah non ça marche pas parce que ça tend vers 0 en l'infini...


Posted by: Alpha

Bonsoir,

Sinon, on peut dire que ln(n+1) = ln(n(1 + 1/n)) = ln(n) + ln(1+1/n),
or ln(1+1/n)> 1/n

(étude des variations de ln(1+x) - x pour prouver cette dernière égalité classique, ça fait un terme à dériver en moins).

Cordialement


Posted by: Purrace

Merci de vos reponses mais pour la 2 question , avec Un est ce quelqu'un pourrait verifier car je craint avoir faux










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