Inégalité de Cauchy

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Posted by: legeniedesalpages

Bonjour, je n'arrive pas à montrer cette inégalité:

|a_1 b_1+\cdots+a_n b_n|\leq \sqrt{|a_1|^2+\cdots+|a_n|^2}\ \sqrt{|b_1|^2+\cdots+|b_n|^2}

pour tous les n-uplets (a_1,\cdots,a_n), (b_1,\cdots,b_n) de nombres complexes.

J'ai commencé par récurrence, pour l'initialisation c'est ok, mais pour l'hérédité je coince.

Merci pour vos indications. :)


Posted by: fahr451

bonjour

A= (a1,...,bn) ; B = (b1,...,bn)


A.B = sigma ai (bibarre) linéaire /A antilinéaire /B
B.A = (A.B) barre
A.A = ||A||^2

on pose A.B = r exp (i c) r>=0 , c réel

puis A ' = A exp(-ic) alors

A'.B = r = |A.Bl réel

pour t réel , B non nul

|| A'+tB ||^2 = ||A'||^2 + t (A'.B +B'.A) + t^2 ||B||^2 =
||A'||^2 +2 t A'.B + t^2 ||B||^2

est un trinôme tjrs positif donc son delta est négatif

soit :

(A' B )^2 =< (||A'|| ||B||)^2 et le résultat


Posted by: Joker62

Là tu fais la preuve pour un espace préhilbertien complexe aussi, c'est pas du jeu :D
Il voulait juste la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur R.

Même si bien évidemment, le cas général est beaucoup plus joli :)


Posted by: fahr451

Citation:
Posté par Joker62
Là tu fais la preuve pour un espace préhilbertien complexe aussi, c'est pas du jeu :D
Il voulait juste la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur R.

Même si bien évidemment, le cas général est beaucoup plus joli :)


tu as raison en utilisant l'inégalité triangulaire on peut se contenter de regarder pour les ai' = |ai| et b'i= |bi| tous réels donc inutile d'utiliser exp(ic) car

A.B = B.A dans R^n


Posted by: legeniedesalpages

ok, j'ai compris.

Merci Fahr et Joker pour votre aide. :)










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