Identités remarquable

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Posted by: Claire94

Bonsoir,

Je suis en 3ème. J'ai des difficultés avec les identités remarquables.
Pourriez-vous me donner des explications rapides et simples ou des adresses de sites qui pourraient m'aider.

Merci beaucoup

Claire


Posted by: Eurékagathe

Il me semble que ce sont ces formules:

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

<br /> (a-b) \times (a+b) = a^{2} - b^{2}

Si tu n'arrives pas a les comprendre il faut peut être les developper, mais tu as du voir cela en cours, non? En tout cas je peu te mettre les developpements en esperant que cela t'aide.

(a+b)^{2} = (a+b) \times (a+b) = a \times a + a\times b + b\times a + b\times b<br /> = a^{2} + ab + ba+ b^{2}<br /> = a^{2} + 2ab + b^{2}

La deuxième avec le moins se developpe de la meme facon:

(a-b)^{2} = (a-b) \times (a-b) = a \times a - a\times b - b\times a + -b\times -b<br /> = a^{2} - ab - ba+ b^{2}<br /> = a^{2} - 2ab + b^{2}

Et la troisième, qui est <br /> (a-b) \times (a+b) = a^{2} - b^{2} se developpe comme ca:

(a-b) \times (a+b) = a^{2} + ab - ba + b^{2} = a^{2} - b^{2}

Ce ne sont que des demonstration, mais je ne vois pas trop ce qu'il y a a expliquer. Que n'as tu pas compris? Et veux tu des exemples?


Posted by: Claire94

bonsoir,

merci beaucoup pour ta réponse

je veux bien des exemples


Posted by: Zebulon

Bonsoir,
tu peux également VOIR ces formules:
pour (a+b)², dessine un carré de côté de longueur a+b. Quelle est son aire? Retrouve sur ta figure les carrés et rectangles qui ont pour aire a², b² et 2ab.
Pour (a-b)², il suffit de remplacer b par (-b) dans ta formule de (a+b)².
Enfin, pour a²-b², trace un carré de côté longueur a. Dans ce carré, place dans un coin un carré de côté de longueur b (b<a). Hachure ce qui est dans le grand carré et pas dans le petit. L'aire de la figure hachurée est alors a²-b² (aire du grand carré - aire du petit carré). Géométriquement (et c'est là que tu dois retrouver ces aires sur ta figure), tu peux observer que cette aire est égale à b*(a-b)+a(*a-b) ce qui est égal, en factorisant par (a-b), à (a+b)*(a-b).
Voilà pour des démonstrations géométriques. J'espère que tu arrives à les voir, ça te permettra peut-être de mieux comprendre. Ca aide toujours les dessins en Maths!
Cependant, c'est le minimum que de les connaître par coeur parce qu'en contrôle, tu ne vas pas t'amuser à refaire les carrés! Ne t'inquiète pas:tu verras, c'est comme le vélo, ça ne s'oublie pas!
Bon courage et à bientôt,
Zeb.


Posted by: Eurékagathe

(5+8)^{2} = (5+8) \times (5+8) = 5 \times 5 + 5\times 8 + 8\times 5 + 8\times 8<br /> = 5^{2} + 5\times 8 + 8\times 5+ 8^{2}<br /> = 25 + 2\times 40 + 64<br /> = 169

En appliquant la formule des identitées remarquables tu n'as pas besoin de tout developper et tu arrive au resultats en moins d'étapes. Mais les identitées remarquables sont utiles surtout pour les calculs que la calculette ne fait pas, avec une inconnue x par exemple, pour resoudre une équation.

Je te fais une demonstration ac des x pour la deuxièmes formule:

(3x - 4)^{2} <br /> = (3x)^{2} - 2 \times 4\times 3x + 4^{2}<br /> =9 \times x^{2} -24x + 16

La formule est appliquée directement ce qui evite de devoir passer par les étapes intermédiaires.

Mais ces formules puevent être utilisées dans l'autre sens, pour factoriser une expression contenant des x au carré et ainsi avoir un produit de deux terme, et plus de x ^{2} . Tu as par exemple:

16 - 36x^{2}

= 4^{2} - (6x)^{2} (car 4^{2}=16\, et \,6^{2}=36 et le x est déjà au carré)
= (4-6x) \times (4+6x) (d'après la troisième formule, dont on retrouve la structure)

Ca peu te servir pour resoudre des equations de type produit nul. Mais je sais pas a quel moment on voit ca dans le programme de troisieme donc je ne sais pas is tu les a vu ou pas pour le moment.

Je vais essayer de te trouver un cours mieux fait sur les egalitées remarquables.


Si tu as du mal avec les formules fait ce qu'a dit zébulon ca permet de comprendre! J'y avais pas pensé!


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Eurékagathe
(3x - 4)^{2} = <br /> = (3x)^{2} - 2 \times 4\times x + 4^{2}<br /> =9 \times x^{2} -8x + 16


Petite erreur ! Je dirais :

(3x - 4)^{2} <br /> = (3x)^{2} - 2 \times 4\times 3x + 4^{2}<br /> =9 \times x^{2} -24x + 16


Posted by: Eurékagathe

Merci Chimerade j'avais pas fais attention. J'a i édité.










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