Mathématiques - idéaux d'un anneau !

idéaux d'un anneau !
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Posted by: barbu23

Bonjour :
j'ai une petite question à vous poser :
Soit : $\ \pi$ l'application définit comme suit :
$\ \pi$ : { idéaux de $\ A$ contenant $\ I$ } $\ \longrightarrow$ { idéaux de $\ A/I$ }.
Pourquoi ,si on prend un idéal de $\ A/I$ noté comme ça : $\ J/A$ , alors $\ \pi^{-1} (J/I)$ contient $\ I$ .
et merçi infiniment !!

Posted by: barbu23

pls , je sais que c'est bête comme question !!!

Posted by: aviateurpilot

salut,
$A/I=\{x\in A|x\not\in I\}$ c'est ça ce que tu veux dire non?
c'est quoi d'abord un ideal d'un anneau? (la définition)
merci d'avance.

pour $A/J,$ tu dis que c'est just une notaion,
et pres tu ecrit $\pi^{-1}(J/I)$

c'est quoi $A/B$

Posted by: barbu23

bonjour aviateurpilot :
A/I : c'est l'anneau quotient d'idéal I.
les idéaux de A/I s'ecrivent comme ça : J/I avec J inclus dans A. J dans notre cas c'est un idéal de A contenant I . regarde l'application, pour verifier si c'est juste..

Posted by: barbu23

j'ai une autre petite question banale :
pourquoi si un anneau est intègre alors il n'est pas reduit à l'élément neutre.
on doit montrer que :
si $\ A$ est un anneau.
alors :
$\ A$ est intègre $\ \Longrightarrow A \neq \{ 0 \}$
et merçi d'avance !!

Posted by: yos

Bonjour.
La question est pas très claire.
Tu devrais déjà distinguer l'application $\pi$ de la projection canonique $p : A\to A/I$ (qui elle est un morphisme). A ce titre l'égalité $\pi (J)=p(J)$ est trompeuse. Elle ne signifie nullement que $\pi =p$ .

$\pi$ est définie à l'aide de p :
Si J est un idéal de A contenant I, on pose $\pi (J)=p(J)$ .
$p(J)$ est clairement un idéal de A/I, donc l'application $\pi$ est bien définie.
Je reviens à ta question :
on prend cette fois un idéal J de l'anneau quotient A/I. Alors $p^{-1}(J)$ est l'idéal de A formé des x de A tels que $p(x)\in J$ . En particulier si x est dans I, on a p(x)=0, donc $p(x)\in J$ (un idéal est un sous-groupe donc il contient 0), donc $x\in p^{-1}(J)$ . D'où l'inclusion cherchée.

Posted by: yos

Citation:

Posté par barbu23

j'ai une autre petite question banale :
pourquoi si un anneau est intègre alors il n'est pas reduit à l'élément neutre.
on doit montrer que :
si $\ A$ est un anneau.
alors :
$\ A$ est intègre $\ \Longrightarrow A \neq \{ 0 \}$
et merçi d'avance !!

Dans un anneau, intègre ou pas, il y a toujours au moins deux éléments : 0 et 1.

Posted by: barbu23

Si on suppose que $\ A = \{ 0 \}$ . alors montrons qu'il y'a une contradiction !!
c'est quoi la négation de cette formule :
$\ \forall (x,y) \in A \times A : x.y = 0 \Longrightarrow x = 0$ ou $\ y = 0$
est ce que c'est :
$\ \exists (x,y) \in A \times A : x.y = 0$ et $\ x \neq 0$ et $\ y \neq 0$ .
c'est ça n'est ce pas ?!!

Posted by: alben

Pour ta deuxième question, parce que c'est dans la définition d'un anneau intègre.
Pour la première tes notations sont confuses si L est un idéal de A/I l'application $\pi$ fait correspondre à un élément de A sa classe par la relation :
xRy<=> (x-y) € I et comme 0 est dans L il sera aussi dans $\pi^{-1}(L)$ ainsi que I (car un idéal est un groupe). De fait, I sera contenu le noyau de pi
PS yos, je crois qu'il n'est pas interdit d'avoir 1=0 sauf dans un anneau intègre

Posted by: barbu23

D'accord yos merçi !!

Posted by: barbu23

merçi alben

Posted by: yos

Citation:

Posté par alben

PS yos, je crois qu'il n'est pas interdit d'avoir 1=0 sauf dans un anneau intègre

Et sans que l'anneau soit trivial? J'y ai pas réfléchi.

Posted by: alben

Il est forcément trivial, bien sûr

Posted by: yos

C'est ce que je pensais. J'ai déjà rencontré une définition d'un anneau où on impose au moins deux éléments. C'est pas plus mal.
Il y a toujours eu des différences dans les définitions selon les auteurs; par ex Godement disait anneau pour anneau unitaire (comme presque tout le monde aujourd'hui) alors que dans Queysanne on distingue les deux.
Désolé pour la vetusté de mes références.

Posted by: barbu23

Bonjour:
On définit $\ "p"$ : un élément irreductible d'un anneau intègre $\ A$ par :
1) $\ p \not \in A^{*}$ .
2) $\ \exists (a,b) \in A \times A : p = a.b \Longrightarrow a \in A^{*}$ ou $\ b \in A^{*}$ .
Pourriez vous me donner la négation de cette définition, c'est à dire $\ "p"$ n'est pas irreductible.
est ce que c'est pas ça :
$\ "p"$ n'est pas irreductible ssi :
1) $\ p \in A^{*}$ .
2) $\ \forall (a,b) \in A \times A : p = a.b$ et $a \not \in A^{*}$ et $\ b \not \in A^{*}$ .
et merçi infiniment !!

Posted by: abcd22

Je crois qu'il y a une erreur dans ta définition d'irréductible, le 2) est « pour tous $a,\ b \in A^*$ tels que p = ab, a est inversible ou b est inversible ». Il ne faut pas non plus oublier que dans la définition il faut 1) et 2) pour être irréductible, donc pour la négation il faut (non 1)) ou (non 2)).

Posted by: barbu23

est ce que le "ou" ici est un "ou" inclusif ou bien un "ou" exclusif ?
merçi d'avance !!

Posted by: barbu23

Rebonjour :
j'ai une autre question à vous poser :
Dans mon cours, on définit un élément irreductible par :
$\ p$ est irreductible si et seulement si :
1) $\ p \not \in A^{*}$ .
2) $\ \forall (a,b) \in A \times A$ : $\ p = a.b \Longrightarrow a \in A^{*}$ ou $\ b \in A^{*}$ .
autrement dit : les seuls diviseurs de $\ p$ sont les inversibles, $\ p$ et les éléments associés.
Porriez vous m'expliquez pourquoi les seuls diviseurs de $\ p$ sont les inversibles, $\ p$ et les éléments associés ?
et merçi infiniment !!

Posted by: fahr451

bonsoir d'après 2 non?

soit a un diviseur de p

on a p = ab donc si b n 'est pas inversible a l'est et si b est inversible a est associé à p par définition

Posted by: barbu23

Bonsoir:
pourriez vous me dire pourquoi si $\ x|a$ alors $\ v_{x} (a) \geq 1$ et merçi d'avance !!

Posted by: barbu23

$\ v_{x} (a)$ est la valuation $\ x$ - adique de $\ a$ !!

Posted by: thomasg

Bonjour,

il me semble sauf erreur toujours possible de ma part, que

vx(a)=max{k entier/x^k divise a}

la propriété que tu propose est donc une conséquence directe de la définition.

A bientôt.

Posted by: barbu23

Bonjour:
Pourriez vous m'aider à démontrer l'équivalence des deux assertions suivantes, les voiçi :
Soit $\ A$ un anneau intègre :
1) la décomposition : tout $\ x$ de $\ A$ s'écrit : $\ x = u. \prod_{p \in P} p^{v_{p}(x)}$ est unique avec $\ P$ : l'ensemble des éléments irreductibles.
2) Lemme d'Euclide : si $\ p$ est irreductible et $\ p|a.b$ alors $\ p|a$ ou $\ p|b$
et merçi infiniment !!

Posted by: barbu23

l'implication 1) $\ \Longrightarrow$ 2) est fait, je cherche maintenant l'implication reciproque 2) $\ \Longrightarrow$ 1) et merçi d'avance !!

Posted by: yos

Pour $(2)\Rightarrow (1)$ , je suppose qu'il faut seulement prouver l'unicité de la décomposition (sous réserve d'existence)?
Auquel cas tu écris deux décompositions différentes de x que tu égalises et tu montres d'abord que les inversibles qui y figurent sont les mêmes puis tu t'occupes des valuations :
$\large u\prod_{p\in P}p^{\alpha_p}=v\prod_{p\in P}p^{\beta_p}$
Suppose par exemple que pour un certain irréductible p, on ait $\alpha_p >\beta_p$ . L'intégrité autorise à simplifier et que reste-t-il?