homéomorphisme

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: magnum

bonjour,
je n'arrive pas à montrer que :
f: ]-1,1[->R
f(x)=x/(1-x²)
est un homéomorphisme .

en fait je n'arrive pas à montrer que c'est une bijection.

Merci .


Posted by: klevia

Tu dérives et tu montres que f est monotone ...


Posted by: magnum

ok merci mais quelle est sa bijection réciproque ?


Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir,

il me semble que tu n'as pas besoin de connaître l'expression de f^{-1}.

Si tu montres que f est surjective et strictement croissante avec l'indice que t'as donné klevia,
tu peux en déduire que f est continue, et que f^{-1} est définie et continue sur \mathbb{R}, autrement dit f est un homéomorphisme.


Posted by: magnum

je suis d'accord seulement c'est la deuxième question de l'exercice qui demande de déterminer la bijection réciproque .
pour démontrer que c'est un homéomorphisme je suis d'accord avec toi.
je cherche donc à présent la bijection réciproque de f .
Merci !


Posted by: Aspx

Résoudre l'équation fonctionnelle \frac {f(x)}{1-f(x)^2}=x peut être (bonne chance).


Posted by: legeniedesalpages

Bonjour Aspx,

comment on peut procéder pour résoudre ce genre d'équations?


Posted by: Aspx

C'était juste une idée comme ça , j'en ai absoluemment aucune idée.


Posted by: abcd22

Bonsoir,
y (1 - x^2) = x c'est une équation du second degré en x.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par legeniedesalpages
il me semble que tu n'as pas besoin de connaître l'expression de f^{-1}.
Si tu montres que f est surjective et strictement croissante avec l'indice que t'as donné klevia,
tu peux en déduire que f est continue, et que f^{-1} est définie et continue sur \mathbb{R}, autrement dit f est un homéomorphisme.


Je suis d'accord qu'il suffit de dire que f est continue et bijective et que donc f^{-1} est continue mais ça mérite, à mon humble avis, au moins un mot d'accompagnement car c'est faux dans le cas général.


Posted by: legeniedesalpages

oui , je suis allé un peu vite, mais ici on a une application f: ]-1,1[->R.

On a:

(f surjective et strictement croissante => f bijective et continue)

(f bijection croissante => f^{-1} bijection croissante) (un isomorphime pour l'ordre en fait)










-