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Vieux 03/12/2006, 17h16
mimi_chokoolat
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Thumbs down hérédité dune demonstration par recurrence

bonjour alors voila


jai un probleme à lheridité de ma demonstration par recurrence de la propriété suivante

On pose a=(n-2)(n-1)*n*(n+1)(n+2) avec n appartient au naturels. montrer que pour tout n superieur ou egal a trois A est divisible par 15.
merci beaucoup par avance


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Vieux 03/12/2006, 17h22
Rain'
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a=(n-2)(n-1)*n*(n+1)(n+2)

Pourquoi faire une récurrence ?

Soit n >= 3

Parmi 5 entiers consécutifs, un et un seul d'entre eux est divisible par 5. Tu peux vérifier ça avec les congruences si tu as un doute.
Parmi 5 entiers consécutifs, l'un au moins est divisible par 3.

Bon bah voilà c'est terminé a est divisible par 15.
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Vieux 03/12/2006, 17h45
mimi_chokoolat
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et jecris ceci comme cela?
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Vieux 03/12/2006, 17h50
Rain'
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Non c'est pas très rigoureux.

Soit n supérieur ou égal à 3.
Soit An=n-2*n-1*n*n+1*n+2
Si n congru à 0 mod 5 alors An est divisilbe par 5
Si n est congru à 1 mod 5 alors n-1 est congru à 0 mod 5 donc An est divisible par 5
et ainsi de suite jusqu'à 4

et ensuite la même chose modulo 3 .
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Vieux 03/12/2006, 18h04
mimi_chokoolat
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Citation:
Posté par Rain'
Non c'est pas très rigoureux.

Soit n supérieur ou égal à 3.
Soit An=n-2*n-1*n*n+1*n+2
Si n congru à 0 mod 5 alors An est divisilbe par 5
Si n est congru à 1 mod 5 alors n-1 est congru à 0 mod 5 donc An est divisible par 5
et ainsi de suite jusqu'à 4

et ensuite la même chose modulo 3 .


comment ca jusque 4 ?
(n-3) congru a 0(5)? et comment je fait pour n+2 ou n+1 ? encore un petit peu daide stp
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Vieux 03/12/2006, 18h06
Elsa_toup
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Si n congru à 2 modulo 5, alors (n-2) congru à 0 modulo 5.
Tu vas jusqu'à n congru à 4 modulo 5.
Et du coup, tu vois qu'il y a toujours un nombre qui est divisible par 5 parmi 5 nombres consécutifs.
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Vieux 03/12/2006, 18h16
mimi_chokoolat
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quand cest congrus a 4mod5 cest divisible par 5 ? et faut que je fasse (n+1) congru..?
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Vieux 03/12/2006, 18h17
Rain'
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non divisible par 5 c'est congru à un multiple de 5 modulo 5 ou à 0 modulo 5. (0 c'est un multiple de 5 ? ).
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Vieux 03/12/2006, 18h18
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ui 0 est un multiple


mais faut til que je fasse (n+1) congru a ... ou nan?
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Vieux 03/12/2006, 18h20
Elsa_toup
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Non, mais (n-4) oui !
Ca peut paraître un peu abstrait, alors je te conseille de prendre par exemple n = 7, donc n+1=6, n+2=7, n+3=8, n+4=9.

Tu as 5 entiers consécutifs et là c'est (n-2) qui congrue à 0 modulo 5.

Maintenant si tu prends 4,5,6,7,8, alors n=6 et c'est (n-1) qui congrue à 0 modulo 5.
Et ainsi de suite...

J'ai l'impression que c'est encore moins clair, là, non ?
Elsa_toup est déconnecté  
Vieux 03/12/2006, 18h20
Rain'
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A partir du moment où tu as montré n-2*n-1*n*n+1*n+2 divisible par 5 pour n congru à 0,1,2,3,4 modulo 5. Tu peux en conclure que n-2*n-1*n*n+1*n+2 est divisible par 5.
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Vieux 04/12/2006, 19h36
mimi_chokoolat
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uimais comment je fais pour n congru a 4mod5
je dit que n+1 est congru a 5mod(5) dc an divisible par 5
mais pour n-2congru a 2(5) c'est pas possible puisque pas divisible
..... pourriez vous meclaircir merci
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