montrer que 2 puissance 73 a un multiple ayant 73 chiffres qui ne s'écrit
qu'avec des 1 et des 2
merci ...
Posted by: Olivier Miakinen
Le 06/10/2003 19:00, Sylvestre33 a écrit :
> montrer que 2 puissance 73 a un multiple ayant 73 chiffres qui ne s'écrit
> qu'avec des 1 et des 2
C'est amusant, comme question.
La première idée qui m'est venue en la lisant est : « est-ce que 73 est
particulier, ou bien la propriété est-elle vraie pour tout entier ? »
La seconde, c'était : « est-ce que je sais construire de tels nombres
pour 2^3 (avec 3 chiffres) ou 2^4 (avec 4 chiffres) ? »
Enfin : « est-ce que la connaissance d'un tel nombre de 72 chiffres
divisible par 2^72 me donne la réponse pour 2^73 ? »
Amuse-toi autant que moi !
Posted by: Daniel
"Olivier Miakinen" <Olivier.Miakinen@evidian.com> a écrit dans le message de
news: bls8kk$k2o$1@cabale.usenet-fr.net...
>
> La première idée qui m'est venue en la lisant est : « est-ce que 73 est
> particulier, ou bien la propriété est-elle vraie pour tout entier ? »
>
> La seconde, c'était : « est-ce que je sais construire de tels nombres
> pour 2^3 (avec 3 chiffres) ou 2^4 (avec 4 chiffres) ? »
>
> Enfin : « est-ce que la connaissance d'un tel nombre de 72 chiffres
> divisible par 2^72 me donne la réponse pour 2^73 ? »
Et ce procédé permet même de construire très rapidement ce nombre. Le voici,
d'après Maple en une fraction de seconde :
21222112122211121221111222121122121211121211211221 11112111211111212122112
Daniel
Posted by: Sylvestre33
J'ai fait jusqu'à 2^14 mais je ne vois pas comment établir une règle pour
les puissances suivantes de 2
"Olivier Miakinen" <Olivier.Miakinen@evidian.com> a écrit dans le message de
news:bls8kk$k2o$1@cabale.usenet-fr.net...
> Le 06/10/2003 19:00, Sylvestre33 a écrit :
>
> > montrer que 2 puissance 73 a un multiple ayant 73 chiffres qui ne
s'écrit
> > qu'avec des 1 et des 2
>
> C'est amusant, comme question.
>
> La première idée qui m'est venue en la lisant est : « est-ce que 73 est
> particulier, ou bien la propriété est-elle vraie pour tout entier ? »
>
> La seconde, c'était : « est-ce que je sais construire de tels nombres
> pour 2^3 (avec 3 chiffres) ou 2^4 (avec 4 chiffres) ? »
>
> Enfin : « est-ce que la connaissance d'un tel nombre de 72 chiffres
> divisible par 2^72 me donne la réponse pour 2^73 ? »
>
> Amuse-toi autant que moi !
>
Posted by: Jean-Loup GUILLAUME
Sylvestre33 wrote:
> J'ai fait jusqu'à 2^14 mais je ne vois pas comment établir une règle pour
> les puissances suivantes de 2
Suppose que 2^72 a un multiple 'x' (2^72*y=x) ayant 72 chiffres ne s'ecrivant
qu'avec des 1 et des 2
Alors que vaut 1x, que vaut 2x (le chiffre 2 suivi des chiffres de x) ?
Est-ce que l'un des deux est multiple de 2^73 ?
> "Olivier Miakinen" <Olivier.Miakinen@evidian.com> a écrit dans le message de
> news:bls8kk$k2o$1@cabale.usenet-fr.net...
> > Le 06/10/2003 19:00, Sylvestre33 a écrit :
> >
> > > montrer que 2 puissance 73 a un multiple ayant 73 chiffres qui ne
> s'écrit
> > > qu'avec des 1 et des 2
> >
> > C'est amusant, comme question.
> >
> > La première idée qui m'est venue en la lisant est : « est-ce que 73 est
> > particulier, ou bien la propriété est-elle vraie pour tout entier ? »
> >
> > La seconde, c'était : « est-ce que je sais construire de tels nombres
> > pour 2^3 (avec 3 chiffres) ou 2^4 (avec 4 chiffres) ? »
> >
> > Enfin : « est-ce que la connaissance d'un tel nombre de 72 chiffres
> > divisible par 2^72 me donne la réponse pour 2^73 ? »
> >
> > Amuse-toi autant que moi !
> >
Posted by: Olivier Miakinen
Sylvestre33 m'avait répondu :
>
>> J'ai fait jusqu'à 2^14 mais je ne vois pas comment établir une règle pour
>> les puissances suivantes de 2
[suivi de l'intégralité de mon article]
Le 07/10/2003 10:59, Jean-Loup GUILLAUME a répondu après les deux lignes
de Sylvestre33 :
>
> Suppose que 2^72 a un multiple 'x' (2^72*y=x) ayant 72 chiffres ne s'ecrivant
> qu'avec des 1 et des 2
> Alors que vaut 1x, que vaut 2x (le chiffre 2 suivi des chiffres de x) ?
> Est-ce que l'un des deux est multiple de 2^73 ?
[mais a laissé ensuite l'intégralité du reste de l'article]
Jean-Loup tu peux te contenter du paragraphe 3, mais Sylvestre je te
recommande de tout lire.
Posted by: Gérard Nin
En fait la propriété vaut pour toute puissance entière de 2 et le résultat
se démontre par récurrence.
Pour n = 1, le nombre 2 est solution. En effet, c'est un multiple de 2^1, il
comporte 1 chiffre et ne s'écrit qu'avec des 1 ou des 2.
Supposons la propriété vrai au rang n (entier non nul) : il existe k entier
tel que k.2^n possède n chiffres et ne s'écrit qu'avec des 1 et des 2. Ce
qu'on peut résumer en écrivant : k.2^n = a_(n-1).10^(n-1)+...+a_1.10+a_0, où
les a_i sont dans {1,2} - il s'agit de l'écriture décimale usuelle d'un
entier.
Passons au rang n+1 :
Si k est pair, k = 2k', alors prenons pour nombre solution : 2.10^n+k.2^n.
Ce nombre comporte un chiffre de plus que k.2^n (le chiffre 2 à gauche de
tous les autres) et en le réécrivant sous la forme 2.2^n.5^n+2k'.2^n =
2^(n+1)(5^n+k'), on voit qu'il est multiple de 2^(n+1). Le nombre
2.10^n+k.2^n est donc bien solution.
Si k est impair, k = 2k'+1, alors prenons pour nombre solution
:1.10^n+(2k'+1).2^n. Ce nombre comporte aussi n+1 chiffre, cette fois on a
placé 1 à gauche des chiffres de k.2^n et il s'écrit : 2^n.(5^n+2k'+1).
Mais, 5 = 1 modulo 2, donc 5^n = 1 modulo 2 et 5^n+1 = 0 modulo 2, ainsi
5^n+2k'+1 est divisible par 2. Le nombre proposé : 2^n.(5^n+2k'+1) est donc
divisible par 2^(n+1).
Cette preuve montre aussi comment construire le nombre. Pour n = 1, N le
nombre solution est 2; on teste la parité de N/2^n. Si le quotient est pair
on concatène 2 à gauche de l'écriture décimale de N, s'il est impair on
concatène 1.
Départ : N = 2
Test : N/2 impair d'où N = 12
puis on boucle sur le test (12/2^2 impair d'où N = 112 ...)
Il faut tout de même prévoir un arrêt (dans le pb tel qu'il est posé on
boucle 72 fois, ce qui va très vite en MAPLE !).
Cordialement, Gérard NIN.
"Sylvestre33" <sylvestre33@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news:
bls74j$tpb$1@news-reader3.wanadoo.fr...
> montrer que 2 puissance 73 a un multiple ayant 73 chiffres qui ne s'écrit
> qu'avec des 1 et des 2
> merci ...
>
>