Groupes simples.

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Posted by: lediabledunewjersey

Bonjour
Je voulais savoir si il est possible de savoir si un groupe est simple par rapport a l ordre du groupe.
Par exemple pour les groupes d ordre 60 62 64, comment peut on savoir si ils sont simples, ou non, ou alors en fonctions de cas differents.


Posted by: ThSQ

Oui dans de nombreux cas on peut répondre rien qu'en voyant l'ordre du groupe, c'est une application des théorèmes de Sylows.

60 : <couic la grosse c*nerie> aucun groupe d'ordre p²q n'est simple.

62 = 2x31 : aucun groupe d'ordre 2p n'est simple.

64 = 2^6 : aucun groupe d'ordre 2^n (n > 1) n'est simple.


Simple non ?


Posted by: lediabledunewjersey

Merci:)
Bon j ai fait d autres exemples ou on trouve que les groupes sont pas simples comme 35 ou 26.
Voila par contre j aimerai bien avoir deux ou trois exemples de groupe simple, je pense que tout nombre premier est simple , mais je reste encore hesitant sur le sujet.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lediabledunewjersey
Merci:)
Bon j ai fait d autres exemples ou on trouve que les groupes sont pas simples comme 35 ou 26.
Voila par contre j aimerai bien avoir deux ou trois exemples de groupe simple, je pense que tout nombre premier est simple , mais je reste encore hesitant sur le sujet.


26 = 2x13

Tout groupe d'ordre 35 est cyclique (je le laisse conclure).

Si |G|=p premier, G a pas des masses de sous-groupes (et encore moins de normaux !).


Posted by: tize

Citation:
Posté par ThSQ
...60 : ça marche pas vu que S_5 est d'ordre 60 ...

Ça a changé alors...


Posted by: lediabledunewjersey

desoler je me suis un peu embrouiller:)
35=7*5 , 7et 5 sont des nombres premiers donc le groupe 35 est bien cyclique.
maintenant est ce que cyclique veut dire que le groupe est pas simple?

en utilisant la regle de sylow sur 7 ou 5 on trouve
7 / 35 alors que 49 ne divise pas 35.
r=1,8,15,22,29,36
seul 1 multiple de 35

en utilisant la regle de sylow sur 5 on trouve
5/35 alors que 25 ne divise pas 35
r= 1,6,11,16,21,26,31,36 , seul 1 est un multiple de 35.
Dans ces deux cas il s agit de sous groupes normaux , donc des groupes pas simples.
si je me trompe un petit resumer me ferait pas de mal:)


Posted by: tize

Citation:
Posté par lediabledunewjersey
desoler je me suis un peu embrouiller:)
35=7*5 , 7et 5 sont des nombres premiers donc le groupe 35 est bien cyclique.
maintenant est ce que cyclique veut dire que le groupe est pas simple?...

Cela veut dire que le groupe est commutatif et donc que tout sous groupe est distingué...


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par tize
Ça a changé alors...


On arrête pas le progrès .... ( ni ma grosse c*nnerie ici )


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lediabledunewjersey
35=7*5 , 7et 5 sont des nombres premiers donc le groupe 35 est bien cyclique.


Désolé, mais dit comme ça c'est faux (|S_3| = 2x3 mais S_3 n'est pas cyclique) il faut ruser un peu avec Mr Sylow et son orchestre.


Posted by: lediabledunewjersey

D accord , bon revenons sur le fait incontester que 35 soit cyclique, maintenant cyclique va til dire que 35 est un groupe simple ou non? car il y a quand meme un sous groupe normal dans les deux cas si on prend 5 ou on prend 7.


Posted by: tize

Citation:
Posté par ThSQ
Désolé, mais dit comme ça c'est faux (|S_3| = 2x3 mais S_3 n'est pas cyclique) il faut ruser un peu avec Mr Sylow et son orchestre.

Tout à fait exact


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lediabledunewjersey
D accord , bon revenons sur le fait incontester que 35 soit cyclique, maintenant cyclique va til dire que 35 est un groupe simple ou non? car il y a quand meme un sous groupe normal dans les deux cas si on prend 5 ou on prend 7.


José a déjà tout dit clairement mais bon : cyclique implique commutatif implique tous les ss-groupes sont distingués. Comme C_35 admet des sous-groupes propres aucun groupe d'ordre 35 n'est simple.


Posted by: lediabledunewjersey

Merci , c est clair maintenant , je m etais un peu embrouiller sur les termes. bon si j ai d autres groupes, je vous tiens au courant:)


Posted by: ffpower

Citation:
Posté par ThSQ
Désolé, mais dit comme ça c'est faux (|S_3| = 2x3 mais S_3 n'est pas cyclique) il faut ruser un peu avec Mr Sylow et son orchestre.

En fait on peut montrer(sans Sylow je crois,p-e un ou 2 gars de son orchestre) que si n est premier avec phi(n) (indicatrice d euler),alors tout groupe d ordre n est cyclique..Ici phi(35)=phi(5*7)=4*6=24 donc ca marche










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