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Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir,

en notant $V_4$ le groupe de Klein, je dois montrer que le seul sous-groupe normal propre de $S_4$ contenant strictement $V_4$ est $A_4$ (le groupe alterné).

Une indication est donnée, il faut considérer un tel sous-groupe $H$ et l'application $S_3\simeq S_4/V_4 \rightarrow S_4/H$ , mais je ne vois pas ce que c'est cette application.

Merci pour votre aide.

Posted by: ThSQ

$f(aV_4) = aH$ ?

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par ThSQ

$f(aV_4) = aH$ ?

ah oui d'accord, donc f n'est pas forcément un morphisme et pour un tel sous-groupe H, on doit avoir card(H)=8,
et avec ça je doiis déboucher sur une contradiction?

Posted by: legeniedesalpages

bon je ne vois vraiment pas comment déboucher sur une contradiction.

Posted by: tize

Bonjour LeGénie, comment vas-tu ?

Pour commencer, l'application qu'a proposer ThSQ est bien un morphisme (bien défini), $V_4\subset H$ donc pour tout $a\in S_4$ , $a.V_4\subset a.H$ et $f$a.V_4.b.V_4$=f$ab.V_4$$ (car $V_4$ est distingué dans $S_4$ )... $=ab.H=a.H.b.H$ (car H est aussi distingué dans $S_4$ )... $=f$a.V_4$.f$b.V_4$$ .

Ensuite il faut remarquer que f est (évidement surjective) et 4<|H|<24 donc $1<\|\frac{S_4}{H}\|<6$ mais l'ordre de H divise 24 et ne peut donc être que 6, 8 ou 12, donc $\|\frac{S_4}{H}\|=4,3\;ou\;2$ .
L'ordre du noyau de f divise 6 et ne peut donc être que 1,2,3 ou 6. On élimine 6 car sinon le morphisme n'est pas surjectif, on élimine 1 car sinon $\|\frac{S_4}{H}\|=6$ et c'est impossible d'après ce qui a été dit. Donc $\|Ker(f)\|=2\;ou\;3$ mais dans ces deux cas $\|\frac{S_4}{H}\|\neq 4$ .
Pour résumer $\|\frac{S_4}{H}\|=3\;ou\;2$ ... mais on peut éliminer 3 car sinon $|H|=8$ or $S_4$ ne contient pas de sous groupe distingué d'ordre 8, conclsion $\|\frac{S_4}{H}\|=2$ et $|H|=12$ d'ou $H=A_4$ .

Posted by: legeniedesalpages

Merci Tize, fatigué ces temps-ci vivement les vacances pour se ressoucer un peu.

Je te vois moins souvent sur le forum, tu dois être pas mal occupé aussi ces temps-ci :).

Il y a juste un point que je ne comprends pas. Pourquoi $S_4$ n'a aucun sous-groupe normal d'ordre 8?

Posted by: ThSQ

Le seuls sous-groupes normaux de S4 sont V4 et A4 (+ les deux triviaux).

Une démo : http://forums.futura-sciences.com/thread188660.html

Posted by: tize

Citation:

Posté par legeniedesalpages

...Je te vois moins souvent sur le forum, tu dois être pas mal occupé aussi ces temps-ci :)....

Bah oui...ma fille est née il y a environ 3 semaines

...et depuis je suis très très très occupé...

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par tize

Bah oui...ma fille est née il y a environ 3 semaines

:we

Félicitations !!!

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par tize

Bah oui...ma fille est née il y a environ 3 semaines

...et depuis je suis très très très occupé...

félicitations oui

Posted by: tize

Merci

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par tize

Bah oui...ma fille est née il y a environ 3 semaines

...et depuis je suis très très très occupé...

humm :) ça sent la joie !
et donc elle se prénome ?
Félicitations Mr José ... !