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Groupe
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Posted by: yos

Voilà un exercice qu'on peut chercher dans le métro ou chez le coiffeur. Le genre qu'on devrait toujours avoir sur soi pour patienter quelquepart :

a et b sont dans un groupe et vérifient $ba^2=a^3b$ et $ab^2=b^3a$ . Il faut prouver que a=b=1.

Posted by: fahr451

mon coiffeur étant ponctuel j'ajoute que le groupe est commutatif.

Posted by: mathelot

donc $a=b$ suffit.

Posted by: yos

Citation:

Posté par mathelot

donc $a=b$ suffit.

Qu'y-a-t-il à gauche du "donc"?

Posted by: yos

Je fais remonter.

Posted by: BQss

Citation:

Posté par mathelot

donc $a=b$ suffit.

Que le groupe soit commutatif ou pas de toute facon si a=b alors necessairement a=b=1.

Par contre je vois pas pourquoi le groupe est commutatif? C'est une donnée que tu as oubliée sans quoi ca ne marche pas c'est ca Yos?

Posted by: BQss

si on suppose le groupe commutatif je l'ai:

$ba^2=a^3b$

$abba^2=aba^3b$

$ab^2a^2=baa^3b$

or:
$ab^2=b^3a$

donc:

$ab^2a^2=baa^3b$
entraine:
$b^3aa^2=baa^3b$

$b^3a^3=ba^4b$

$a^3b^3=a^4b^2$

$a^{-3}a^3b^3b^{-2}=a^{-3}a^4b^2b^{-2}$

donc

$b=a$

et comme $b=a$ :

$ba^2=a^3b$
$a^3=a^4$
et donc
$a=1$

finalement

$a=b=1$

Posted by: fahr451

REM : si le groupe est commutatif il n 'y a rien à faire, le résultat est évident,et je n'ai pas eu à faire patienter mon coiffeur.

Le seul cas intéressant est donc quand le groupe n'est pas supposé commutatif.

Posted by: BQss

Citation:

Posté par fahr451

REM : si le groupe est commutatif il n 'y a rien à faire, le résultat est évident,et je n'ai pas eu à faire patienter mon coiffeur.

Le seul cas intéressant est donc quand le groupe n'est pas supposé commutatif.

ok c'est ce que je me disais aussi sur ta remarque. Prendre le groupe commutatif pour que ton coiffeur n'attende pas...

Posted by: BQss

J'ai montré que b=1 <--> a=b

Cela revient donc a prouver que b=1.

Posted by: yos

coiffeur / commuta-tif c'était un jeu de mots?
Si ab=ba, le résultat est évident en effet.
Le groupe n'est pas supposé commutatif, je confirme.

Posted by: fahr451

excellent yos :)

Posted by: Imod

Après "quelques" manipulations j'ai réussi à montrer que le groupe engendré par a et b est égal à son groupe dérivé , je ne sais pas si cela apporte grand-chose ?

Imod

Posted by: allomomo

Salut,

Je complète le défi :

Montrer que
$b^2a^8b^{-2}=a^{18}$
$b^3a^8b^{-3}=b^{27}$
$b^3a^8b^{-3}=a^{18}$ a partir de la seconde supposition
En déduire que $a=b=e$

C'est un truc qu'on a eu en exercice ....

Posted by: Imod

En m'inspirant des indications d'allomomo :

$ba^2=a^3b[1]$ peut s'écrire $ba^2b^{-1}=a^3[3]$ ou encore $a^{-2}ba^2=ab[4]$ . De même $ab^2=b^3a[2]$ peut s'écrire $ab^2a^{-1}=b^3[5]$ ou $b^{-2}ba^2=ab[6]$ . En élevant [3] à la puissance 4 on obtient : $ba^8b^{-1}=a^{12}[7]$ . Alors $b^2a^8b^{-1}=ba^{12}=ba^2a^{10}=a^3ba^2a^8=...=a^{18}b$ donc $a^8=b^{-2}a^{18}b^2[8]$ . Les relations [4] et [6] donnent : $(ab)^{19}=a^{-2}b^{19}a^2=a(ba)^{18}b=ab^{-2}a^{18}b^3$ c'est à dire $a^{-3}b^{18}a^3=b^{-2}a^{18}b^2[9]$ . Les relations [7] , [8] et [9] donnent $a^8=b^{18}=a^{12}=a^{18}$ donc $a^4=1$ , $a^2=1$ , $a=1$ et $b=1$ .

Je ne suis pas sûr que mon coiffeur apprécie le stock de brouillon que j'ai laissé dans sa poubelle

Imod