Bonjour, mon prof m'a donné un exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre.
En espèrant que vous pourriez m'aider :
Existe-t-il un triangle dont les longueurs des médianes sont α=AA' β=BB' γ=CC' ?
si oui, déterminer les solutions.
Merci d'avance
p.s : A' B' C' sont les milieux
Posted by: Sa Majesté
Tu choisis A
Tu choisis A' tel que AA'=α
Tu construis G le barycentre (G appartient à [AA'] et AG=2α/3)
Tu construis le cercle Cb de centre G et de rayon 2β/3. B appartient à Cb
Tu construis le cercle Cc de centre G et de rayon 2γ/3. C appartient à Cc
Tu construis le cercle Cb' image de Cb par la symétrie centrale S de centre A'
A' étant le milieu de [BC], C est l'image de B par S. Donc C appartient à Cb'
C est l'intersection (si elle existe) de Cb' et de Cc
Il peut y avoir 0, 1 ou 2 intersections (par construction il y a symétrie suivant l'axe (AA'))
Idem pour B
Posted by: RyuKo
Puis-je avoir plus de détails, car je ne comprend pas trop :s
"Tu construis le cercle Cb' image de Cb par la symétrie centrale S de centre A'"
Posted by: Sa Majesté
La symétrie centrale de centre A' transforme un point M en un point M' tel que
A'M'=MA' (en vecteur)
Une symétrie centrale transforme un cercle en un cercle
Posted by: RyuKo
Le problème c que je vois pas l'intéret de tracer ces cercles ...
Posted by: Sa Majesté
C'est peut-être parce que je n'ai pas bien compris ton problème
Ce que j'ai compris c'est qu'on te donne 3 nombres α, β et γ et qu'on te demande s'il existe un triangle ABC tel que les médianes aient pour longueurs ces 3 nombres
Posted by: RyuKo
en faite moi aussi je n'ai po compris l'énocé :s
par-contre c bien l'énoncé exact du prof ...
mais on ne peut pas passer par une méthode démonstrative ?
Posted by: yos
Les longueurs des côtés d'un triangle sont liées aux longueurs des médianes par a²=4/9(2b'² + 2 c'² - a'²) et deux relations analogues.
La condition d'existence du triangle (b+c>a,...) devient ici (après quelques calculs) :
2(a'^2 b'^2 +c'^2 b'^2 +c'^2 a'^2 ) > a'^4 + b'^4 + c'^4
Posted by: Flodelarab
Marrant cet exo
Posted by: RyuKo
ça dépend pour qui ? xD
a²=4/9(2b'² + 2 c'² - a'²)
D'ou sort-tu cette relation ?
Posted by: yos
Le théorème de la médiane (niveau première S) te donne a', b', c' en fonction de a,b,c et on en tire a, b, c en fonction de a', b', c'.
Posted by: Flodelarab
RyuKo, tu es Xagère !
Sa majesté te donne une méthode simple et complète.
Il n'est pas interdit de réfléchir entre 2 posts.
Soit G le centre de gravité.
On place A et A' (leurs places n'ont pas d'importance).
On dessine l'ensemble des points B possibles compte tenu du fait qu'on connait la distance GB (on obtient un cercle)
C est le symétrique de B par rapport à A'. Donc on dessine l'ensemble des C possibles. L'image d'un cercle est un cercle (à chaque B correspond un C différent).
D'un autre coté, on dessine l'ensemble des points C possibles compte tenu du fait qu'on connait la distance GC (on obtient encore un cercle)
Le point C est forcément à l'intersection de ces 2 deniers cercles.
Et comme tu as A, A', G et C, alors B se trouve tout seul.
ok?
Posted by: Sa Majesté
Merci Flodelarab, ça fait du bien de se sentir soutenu !
:
des côtés d'un triangle sont liées aux longueurs 
des médianes par a²=4/9(2b'² + 2 c'² - a'²) et deux relations analogues. 