Géométrie : histoire de trajet minimum

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Posted by: lapras

Bonsoir, c'est un exercice de géométrie tres interessant, proposé à ce qu'il parait aux olympiades académiques (je ne sais pas l'année et l'académie)
Soit ABC un trigle quelconque
déterminer les points M, N et P respectivement sur les côtés [AB], [BC] , [AC] (sommets exclus)
tels que le périmètre de MNP soit minimum.

Bon courage !


Posted by: nodgim

Le triangle le plus plat possible autour de la plus petite hauteur ? Donc, sa longueur tendrait vers deux fois la plus petite hauteur.


Posted by: nodgim

Malheureusement, ça n'est pas aussi simple.
Un contre exemple: l'équilatéral, le plus court étant celui qui rejoint les médianes.


Posted by: nodgim

La réponse donnée n'est pas fausse, mais vraie seulement pour les triangles avec un angle obtus; Pour les acutangles, il faut simplement joindre les projetés des hauteurs.


Posted by: lapras

salut,
J'attend une vraie démonstration, avec une preuve géométrique, qui soit généralisable à tous les triangles ;)


Posted by: Imod

On peut généraliser le résultat donné par nodgim en prenant M , N , P sur (AB) , (BC) et (AC) à condition d'autoriser que les points M , N et P soient confondus avec les sommets du triangle ( sinon il ni a pas de minimum dans le cas obtusangle ) . La démonstration est très simple dans le cas où Â est obtus et pour un triangle acutangle il suffit de considèrer le symétrique de N par rapport à (AB) et (AC) et l'inégalité triangulaire .

Imod


Posted by: lapras

Le problème c'est que je ne crois pas qu'on autorise M,N et P à se confondre avec A, B et C.
Bizarre...


Posted by: Imod

Peut-être le triangle est-il supposé acutangle à priori ? Dans ce cas pas de problème !

Imod


Posted by: lapras

Je pense en fait que le point M est fixé et qu'on doit trouver N et P


Posted by: Imod

Citation:
Posté par lapras
Je pense en fait que le point M est fixé et qu'on doit trouver N et P


Je te laisse regarder le dessin ci-dessous pour  aigu et imaginer ce qui se passe si  est obtus .
http://img213.imageshack.us/img213/1222/nouveauto4.jpg

Imod


Posted by: lapras

Je vois
c'est exactement ce que j'avais fait !
J'avais utilisé plusieurs médiatrices.
En fairt j'utilise le fait que si on a deux points A et B le chemin le plus court pour aller vers B en partant de A et en passant par la rivière (PQ) c'est l'intersection de (MM') avec (PQ), M' étant le symétrique de M par rapport à (PQ)


Posted by: lapras

En conclusion M , N et P sont les pieds des trois hauteurs, MNP est le triangle dit "orthique" et son périmètre est minimum.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par lapras
En conclusion M , N et P sont les pieds des trois hauteurs, MNP est le triangle dit "orthique" et son périmètre est minimum.

Si ABC est acutangle !!!

Imod


Posted by: Dark Page

Bonjour
desolé de poser la question mais c'a veut dire quoi acutangle
Et pourquoi ne faite vous aucun calcul moi
j'aurai pris trois longueur a, b, c respectivement sur [BC], [AC], [AB]
et j'aurai utilisé al-kashi pour en deduire les longueurs minimales en fonction
de a, b, c


Posted by: Imod

Citation:
Posté par Dark Page
Bonjour
desolé de poser la question mais c'a veut dire quoi acutangle et pourquoi ne faite vous aucun calcul moi j'aurai pris trois longueur a, b, c respectivement sur [BC], [AC], [AB] et j'aurai utilisé al-kashi pour en deduire les longueurs minimales en fonction de a, b, c

Larousse est ton ami ( à chanter sur l'air de Google est ton ami ) : triangle acutangle , à trois angles aigus . Si tu veux faire des calculs vas-y mais sans moi , c'est tellement plus beau sans !!!

Imod


Posted by: Zweig

Lorsque ABC a un angle obtus, alors le triangle orthique MNP est obtenu lorsque M = N = C et P le pied de la hauteur issue de C. Le triangle obtenu est donc dégénéré.


Posted by: lapras

Oula avec des calculs ca doit être horriblement long !!
(je n'ose meme pas imaginer)


Posted by: Zweig

Et encore, est-ce vraiment possible avec Al-Kashi ? Je ne pense sérieusement pas ...


Posted by: lapras

Non je pense plutôt qu'il faut poser un repère orthonormé... (l'horreur !)










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