Mathématiques - Géométrie euclidienne : surface et Plan tangent

Géométrie euclidienne : surface et Plan tangent
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Posted by: Link

Bonjour,

Je suis en 1ere année de licence de physique-chimie. Mais, j'ai toujours des maths... Et j'ai un peu de mal en ce qui concerne cet exercice, qui parle beaucoup des plans tangents, mais le problème, c'est que mon prof ne m'a pas donné de cours sur les plans tangents...

J'ai quand même fait une partie de l'exercice, mais je bloque. :/

Soit S la surface de R3 définie par S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 2x^2 + 8y^4}.

1. Soit c un réel. Déterminer la nature de l’intersection Cc de S avec le plan d’équation z = c suivant les
valeurs de c.

2. On se place dans le plan d’équation z = 8. Déterminer les réels a et b tels que C8 ait pour équation :
(x^2/a^2) + (y^4/b^2) = 1.

3. Justifier que C8 admet une symétrie par rapport à l’axe Ox.

4. Dessiner l’allure de S.

5. Soit M0 : (x0, y0, z0) un point de S. Déterminer l’équation du plan tangent TM0S à S en M0.

6. Calculer la distance de l’origine O à TM0S.

7. Donner un vecteur normal à TM0S.

8. Montrer qu’il n’existe pas deux points distincts M et N de S tels que les plans tangents TMS et TNS soient parallèles.

Ce que j'ai fait:

1. Si c <0, alors l'intersection entre Cc et S donne un ensemble vide.
Si c=0, alors il y a une solution unique.
Si c>0, on a alors z/c=1, c'est à dire (2x^2/c)+(8y^4/c)=1

2. On a défini avant (2x^2/c)+(8y^4/c)=1, et on a C8:(x^2/a^2) + (y^4/b^2) = 1

Par identification on a : a=2 et a=-2, b=1, et b=-1.

3. J'ai pas trouvé.

4. Je pense que ca aura l'allure d'une demi-ellipse. Je veux dire par la, comme la forme d'un bol un peu.

5. C'est justement, le problème que j'ai avec le plan tangent, car je n'ia pas eu de cours la-dessus.
Je pense avoir trouvé quelque chose, mais je ne pense pas que ce soit bon du tout...

Si je pouvais avoir quelques explications, s'il vous plait.

Merci

Posted by: Mika44

une symétrie par rapport à Ox ça veut dire que M(x,y,z) = M'(x,-y,-z)

Posted by: busard_des_roseaux

bjr,

le plan tangent à une surface X et plus généralement l'espace tangent à une variété X en un point $M_{0}$ a une interprétation géométrique très simple: c'est l'ensemble des vecteurs tangents (vecteurs vitesse) des courbes tracées sur la surface (sur la variété) qui passe par $M_{0}$ . C'est donc un ensemble de directions,ie, de vecteurs. Si la variété est plongée dans un espace euclidien $R^n$ , il est agréable de visualiser cet espace vectoriel comme espace affine en $M_{0}$ .

Avec cette définition, comme la différentiabilité des courbes est une notion locale, elle s'étudie grâce aux cartes (aux paramètrages locaux de la variété)
et donc un système local de coordonnées permet d'étudier cet espace tangent.

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Merci beaucoup.

Par contre, j'aimerais savoir si j'ai bon à ce que j'ai fait pour le moment.

Merci.

Posted by: busard_des_roseaux

bjr,

ta surface est sans doute une hyperboloïde à une nappe.

L'intersection d'un plan horizontal d'équation z=c avec la surface
donne une ellipse (question 1,2,3,4).

Cette surface admet un paramètrage global avec les coordonnées (x,y)
puisque z=f(x,y).

Notons h,k,l des accroissements infinitésimaux des variables x,y,z
autour de $(x_0,y_0,z_0)$

La formule de Taylor donne:

$\displaystyle z-z_{0}= l = 4x_{0}h+32y_{0}^3 k +o((h,k))$

l'équation du plan vectoriel tangent est donc:
$\displaystyle 4x_{0}h+32y_{0}^3 k - l=0$
et l'équation affine est:
$\displaystyle 4x_{0}(X-x_{0})+32y_{0}^3 (Y-y_{0}) - (Z-z_{0})=0$

Un vecteur normal au plan tangent a pour coordonnées:
$\vec{n} (4x_{0},32y_{0}^3,-1)$

On voit que le coeff -1 impose que si deux plans tangents sont //,
alors $M_{0}=M_{1}$

Cordialement,

Posted by: Link

Merci, je ne connais pas cette formule, mais je vai schercher un peu sur internet pour de plus amples explications...

Merci beaucoup en tout cas. :)

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par Link

Merci, je ne connais pas cette formule

$z=f(x,y)$

$\displaystyle z-z0 \sim \frac{df}{dx}(x_{0},y_{0})(x-x0)+\frac{df}{dy}(x_{0},y_{0}) (y-y0)$

Posted by: Link

Merci beaucoup pour tout.

J'ai un autre exercice dans le même genre, mais je bloque encore... :/

Soit S la surface de R3 définie par S = {(x, y, z) ∈ R3 : x²+y²+z² = 1} et soit M0 : (x0, y0, z0)
un point de S.

1. Déterminer l’intersection de S avec le plan d’équation x + y = 0.

2. Donner l’équation du plan tangent TM0S à S en M0.

3.Déterminer l’ensemble C des points M de S tels que les plans tangents TMS et TM0S soient
orthogonaux (on précisera la nature de C).

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Deja, je pense que la surface doit être une sphère. C'est le genre d'équation qui ressemble à une sphère.

Pour la question 1.
L'intersection entre une spèhe et un plan donne un cercle, ou bien un point. Mais, je pencherai pour un cercle, vu la dernière question.
Est ce que ca suffit pour la question 1, ou il faut en dire plus?

Pour la question 2.
Les dérivées partielles, c'est tout nouveau pour moi, alors je peux m'être trompé...
Je pensais faire : On transpose de facon à avoir cette équation : z = racine carrée(-x²-y²+1).

Ca nous fait une équation du type z = f(x,y). Et donc, on applique la formule de taylor, comme dans l'autre exercice. Mais là, ca se complique, et je me demande si la méthode utilisé est bonne...

On a donc: http://poyforum.free.fr/plugins/pun...6faaf61b2d2.png

Si j'ai bien compris :

(df/dx)(xo,yo) = -xo/racine carrée(-(xo)²-(yo)²+1), et donc, (df/dy)(xo,yo)= -yo/racine carrée(-(xo)²-(yo)²+1).

Je me suis peut etre trompé, mais si c'est ça, ce n'est pas trop complexe à étudier?
Je préfère ne pas aller plus loin si j'ai faux...

Pour la question 3:

Si 2 plans tangents sont orthogonaux, alors leurs vecteurs normal, le sont aussi.
Pour la nature de C, je pense que ça doit être un cylindre. Mais, je le fais juste en m'imaginant...

Et donc, voila, c'st tout ce que j'ai fait pour le moment, pas grand chose... :/
Je pourrais avoir un petit coup de pouce, s'il vous plait.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par Link

Deja, je pense que la surface doit être une sphère. C'est le genre d'équation qui ressemble à une sphère.

oui, c'est la sphère , centrée en l'origine de l'espace affine et de rayon 1.

Citation:

Posté par Link

Pour la question 1.
L'intersection entre une spèhe et un plan donne un cercle, ou bien un point. Mais, je pencherai pour un cercle, vu la dernière question.
Est ce que ca suffit pour la question 1, ou il faut en dire plus?

Visuellement, si l'on prend un repère direct formé des trois doigts de la main gauche, le plan d'équation x+y =0 est vertical , orienté sud-ouest, nord-est
et découpe un cercle sur la sphère. Pour le voir, faire un changement de bases orthonormées dans les directions i+j, i-j.

Citation:

Posté par Link

Je pensais faire : On transpose de facon à avoir cette équation : z = racine carrée(-x²-y²+1).

C'est compliqué.

une équation du plan tangent est:
$M(X,Y,Z) \in P$ ssi
$\frac{df}{dx}(x_{0},y_{0},z_{0})(X-x_{0})+\frac{df}{dy}(x_{0},y_{0},z_{0})(Y-y_{0})+\frac{df}{dz}(x_{0},y_{0},z_{0})(Z-z_{0})=0$

$M(X,Y,Z) \in P$ ssi
$x_{0}(X-x_{0})+y_{0}(Y-y_{0})+z_{0}(Z-z_{0})=0$

Citation:

Si 2 plans tangents sont orthogonaux, alors leurs vecteurs normaux, le sont aussi.

ça donne la condition:
$x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1}=0$
et
$x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2=1$
soit l'intersection de la sphère et d'un plan. Par exemple, l'ensemble des points de tangence perpendiculaire au plan tangent du pôle nord, est l'équateur.

Cordialement,

Posted by: Link

Merci beaucoup