J'ai honte, mais j'ai un trou sur de la géométrie dans un cercle.
Soit un cercle de rayon R de centre O et un point A situé à une distance
d du centre (d < R). On fait partir un cône d'angle theta du point A
tel que l'axe de symétrie du cône soit la droite (OA) et tel que O ne
soit pas à l'intérieur du cône (le cône est donc le plus petit des 2
possibles qui ont cet axe de symétrie). Peut-on connaître l'arc de
cercle intercepté par le cône?
J'aurais dit theta*(R-d)/R, mais j'ai tout à coup un doute.
Merci de vos éclaircissements.
--
Nicolas
Posted by: Xavier Caruso
Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51450), a
écrit :
> J'aurais dit theta*(R-d)/R, mais j'ai tout à coup un doute.
Moi, ça ne me paraît pas si simple.
J'appelle O le centre du cercle, A la sommet du cône. B l'intersection
de la demi-droite [OA) avec le cercle, et M et N les intersections du
cône avec le cercle. Je change tes notations et j'appelle theta l'angle
BAM et alpha l'angle BOM. Le but est d'exprimer alpha en fonction de
theta.
Pour cela, j'applique la loi des sinus dans le triangle OAM. L'angle
en A vaut pi-theta et l'angle en M vaut theta-alpha. J'obtiens donc :
d/sin(theta-alpha) = R/sin(pi-theta)
soit
sin(theta-alpha) = d/R*sin(theta)
et après c'est plus difficile de tirer la valeur de alpha.
Posted by: Nicolas Le Roux
Le Fri, 28 Nov 2003 08:12:39 +0000 (UTC),
Xavier Caruso <caruso@clipper.ens.fr> grava à la saucisse et au marteau:
> sin(theta-alpha) = d/R*sin(theta)
Bon, merci beaucoup. Ca m'emmerde, mais ça m'avance :)
--
Nicolas
Posted by: Xavier Caruso
Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51461), a
écrit :
>> sin(theta-alpha) = d/R*sin(theta)
>
> Bon, merci beaucoup. Ca m'emmerde, mais ça m'avance :)
Beh, par contre, si theta est petit, alors alpha l'est aussi. Tu fais
un développement limité à l'ordre 1 et tu retombes bien sur la formule
que tu donnais... Maintenant, je sais pas quelle est ta situation.
Posted by: Nicolas Le Roux
Le Fri, 28 Nov 2003 14:31:07 +0000 (UTC),
Xavier Caruso <caruso@clipper.ens.fr> grava à la saucisse et au marteau:
> Beh, par contre, si theta est petit, alors alpha l'est aussi. Tu fais
> un développement limité à l'ordre 1 et tu retombes bien sur la formule
> que tu donnais... Maintenant, je sais pas quelle est ta situation.
Oui, j'ai pensé à un truc de ce genre. Le seul souci, c'est que j'intègre:
e(-R^2) R^(n-1) p(R) dR
entre 0 et +infini
où p(R) est la proportion du cercle de rayon intercepté par le cône
(à theta et d constant), qui vaut donc alpha/pi selon tes notations.
En revanche, je ne connais rien sur theta (mais je pourrai demander).
Donc je sais juste que d/R tend vers 0 quand R devient grand. Mais je
pense pas que ça suffit (surtout que je sais pas si la personne veut une
valeur exacte ou approchée de l'intégrale. Enfin, ptet qu'approchée ça
suffit).
En tout cas, merci beaucoup.
--
Nicolas
Posted by: Nicolas Le Roux
Le Fri, 28 Nov 2003 14:40:11 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux <nicolas@bisounours.net> grava à la saucisse et au marteau:
> où p(R) est la proportion du cercle de rayon intercepté par le cône
> (à theta et d constant), qui vaut donc alpha/pi selon tes notations.
> En revanche, je ne connais rien sur theta (mais je pourrai demander).
> Donc je sais juste que d/R tend vers 0 quand R devient grand. Mais je
> pense pas que ça suffit (surtout que je sais pas si la personne veut une
> valeur exacte ou approchée de l'intégrale. Enfin, ptet qu'approchée ça
> suffit).
Bon, en fait, ils sembleraient qu'ils (le labo de mon pote qui m'a
demandé) aient simplifié le problème en prenant d=0, les gougnafiers.
M'enfin bon.
--
Nicolas
Posted by: Jean-Claude Poujade
caruso@clipper.ens.fr (Xavier Caruso) wrote in message news:<bq701n$2lj2$1@nef.ens.fr>...
> Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51450), a
> écrit :
> > J'aurais dit theta*(R-d)/R, mais j'ai tout à coup un doute.
>
> Moi, ça ne me paraît pas si simple.
>
> J'appelle O le centre du cercle, A la sommet du cône. B l'intersection
> de la demi-droite [OA) avec le cercle, et M et N les intersections du
> cône avec le cercle. Je change tes notations et j'appelle theta l'angle
> BAM et alpha l'angle BOM. Le but est d'exprimer alpha en fonction de
> theta.
>
> Pour cela, j'applique la loi des sinus dans le triangle OAM. L'angle
> en A vaut pi-theta et l'angle en M vaut theta-alpha. J'obtiens donc :
>
> d/sin(theta-alpha) = R/sin(pi-theta)
>
> soit
>
> sin(theta-alpha) = d/R*sin(theta)
>
> et après c'est plus difficile de tirer la valeur de alpha.
Avec les notations de Xavier Caruso
et avec l'aide de mathematica (cf. ci-dessous)
je trouve que l'arc ne dépend que de theta
et vaut (vaudrait?) Pi - 2 theta.
---
jcp
(x1,y1 et x2,y2 sont les deux points d'intersection
du cône avec le demi-cercle supérieur)
De In[5]:=
Solve::ifun: Solve va employer des réciproques de fonctions, certaines \
solutions peuvent donc ne pas être trouvées.
Out[5]=
{{alpha -> -1.0472},{alpha -> 1.0472}}
In[6]:=
Pi-2theta/.theta -> Pi/3//N
Out[6]=
1.0472
Posted by: Nicolas Le Roux
Le 28 Nov 2003 08:52:30 -0800,
Jean-Claude Poujade <poujadej@yahoo.fr> grava à la saucisse et au marteau:
> Avec les notations de Xavier Caruso
> et avec l'aide de mathematica (cf. ci-dessous)
> je trouve que l'arc ne dépend que de theta
> et vaut (vaudrait?) Pi - 2 theta.
Bah c'est pas normal, parce que si d=R, l'arc intercepté est nul.
--
Nicolas
Posted by: Xavier Caruso
Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51463), a
écrit :
> Oui, j'ai pensé à un truc de ce genre. Le seul souci, c'est que j'intègre:
>
> e(-R^2) R^(n-1) p(R) dR
>
> entre 0 et +infini
entre d et l'infini, non ?
> où p(R) est la proportion du cercle de rayon intercepté par le cône
> (à theta et d constant), qui vaut donc alpha/pi selon tes notations.
> En revanche, je ne connais rien sur theta (mais je pourrai demander).
> Donc je sais juste que d/R tend vers 0 quand R devient grand. Mais je
> pense pas que ça suffit (surtout que je sais pas si la personne veut une
> valeur exacte ou approchée de l'intégrale. Enfin, ptet qu'approchée ça
> suffit).
C'est sûr que si tu veux une valeur exacte, ça suffit pas... mais sinon tu
peux toujours écrire que theta-alpha est petit est donc que :
alpha = theta - d/R*sin(theta)
ensuite, il faut juste savoir intégrer exp(-x^2)*x^n... et ça ça devrait
être bon. Évidemment si c'est pas entre 0 et l'infini, ça va être plus
dur, mais sinon...
Sinon, en désespoir de cause, tu peux toujours utiliser le développement
en série entière de Arcsin qui s'exprime assez facilement je crois... mais
là, j'ai la flemme de faire les calculs pour voir si ça se simplifie,
surtout qu'apparement tu n'en as plus besoin (évidemment pour d=0, ça
simplifie bien le problème).
> En tout cas, merci beaucoup.
Bah, pas de quoi ;-).
Posted by: Nicolas Le Roux
Le Fri, 28 Nov 2003 19:35:51 +0000 (UTC),
Xavier Caruso <caruso@clipper.ens.fr> grava à la saucisse et au marteau:
> > entre 0 et +infini
>
> entre d et l'infini, non ?
Non non, entre 0 et l'infini. Si tu veux, je vais recopier le problème
initial, ptet que tu auras une idée que j'ai pas eue:
Calculer l'intégrale sur omega de e^((-x_1^2 - ... - x_n^2)/(2sigma^2)) où
omega est l'ensemble des (x_1, ..., x_n) tels que:
Donc j'ai défini x = (x_1, .., x_n), a = (a_1, ..., a_n) et b = (b_1,
...., b_n)
La contrainte devenait donc:
<a,x> < -a_0
<b,x> < -b_0
,c'est-à-dire que la zone dans laquelle évolue x est délimitée par deux
hyperplans affines.
Ensuite, plutôt que d'intégrer directement sur tout l'espace, j'intègre
à ||x|| = R constant puis je fais varier R entre 0 et +infini. Alors
j'en arrive à intégrer e(-R^2)*S(R,n-1)*p(R)dR entre 0 et +infini où
S(R,n-1) représente la surface de la sphère de rayon R en dimension n et
p(R) représente la proportion de la sphère de rayon R contenue entre les
deux hyperplans.
Donc si je me gourre pas, "l'angle" entre les deux hyperplans (je veux
parler de celui dans lequel peut évoluer x dans le plan des deux
vecteurs a et b) est pi - theta où theta est l'angle entre a et b.
Si a_0 = b_0 = 0, calculer p(R) est simple (ça vaut (pi-theta)/(2pi))
Si a_0 = b_0 != 0, c'est le problème que je vous ai posé avec d la
distance à laquelle se coupe les deux hyperplans affines par rapport à
l'origine. Xavier m'a donc donné l'expression mais je sais pas intégrer
le résultat avec le reste.
Si a_0 != b_0, c'est le bordel parce que l'axe de symétrie du cône est
même pas le même que (OA) (selon mes précédentes notations), donc je
connais même pas l'expression de p(R) dans ce cas.
Voili voilou.
--
Nicolas
Posted by: Nicolas Le Roux
Le Fri, 28 Nov 2003 19:35:51 +0000 (UTC),
Xavier Caruso <caruso@clipper.ens.fr> grava à la saucisse et au marteau:
> > entre 0 et +infini
>
> entre d et l'infini, non ?
Non non, entre 0 et l'infini. Si tu veux, je vais recopier le problème
initial, ptet que tu auras une idée que j'ai pas eue:
Calculer l'intégrale sur omega de e^((-x_1^2 - ... - x_n^2)/(2sigma^2)) où
omega est l'ensemble des (x_1, ..., x_n) tels que:
Donc j'ai défini x = (x_1, .., x_n), a = (a_1, ..., a_n) et b = (b_1,
...., b_n)
La contrainte devenait donc:
<a,x> < -a_0
<b,x> < -b_0
,c'est-à-dire que la zone dans laquelle évolue x est délimitée par deux
hyperplans affines.
Ensuite, plutôt que d'intégrer directement sur tout l'espace, j'intègre
à ||x|| = R constant puis je fais varier R entre 0 et +infini. Alors
j'en arrive à intégrer e(-R^2)*S(R,n-1)*p(R)dR entre 0 et +infini où
S(R,n-1) représente la surface de la sphère de rayon R en dimension n et
p(R) représente la proportion de la sphère de rayon R contenue entre les
deux hyperplans.
Donc si je me gourre pas, "l'angle" entre les deux hyperplans (je veux
parler de celui dans lequel peut évoluer x dans le plan des deux
vecteurs a et b) est pi - theta où theta est l'angle entre a et b.
Si a_0 = b_0 = 0, calculer p(R) est simple (ça vaut (pi-theta)/(2pi))
Si a_0/||a|| = b_0/||b|| != 0, c'est le problème que je vous ai posé
avec d la distance à laquelle se coupe les deux hyperplans affines par
rapport à l'origine. Xavier m'a donc donné l'expression mais je sais pas
intégrer le résultat avec le reste.
Si a_0/||a|| != b_0/||b||, c'est le bordel parce que l'axe de symétrie
du cône est même pas le même que (OA) (selon mes précédentes notations),
donc je connais même pas l'expression de p(R) dans ce cas.
Voili voilou.
--
Nicolas
Posted by: Nicolas Boutry
hello,
je viens de faire ton ptit calcul (bien marrant ton exo au passage :),
et j obtiens que l arc vaut : alpha/(2Pi)*r (si l arc est bien un segment
courbe du cercle ... si c est le segment droit qui joint les deux points du
cercle, alors c est : 2*r*sin(alpha/2) ... je les confonds toujours ... ;)
avec alpha = theta +/- 2 ArcSin(d/r * sin (theta/2))
(une seule des deux possibilites sera bonne bien sur ...)
il y a des 2 en plus des expressions des autres donc je sais pas si c est
que l un de nous a faux ou si on a des variables de meme nom mais
differentes ...
A plus !
Nico
PS : tu bosses dans quoi au fait ?
----- Original Message -----
From: "Nicolas Le Roux" <nicolas@bisounours.net>
Newsgroups: fr.education.entraide.maths
Sent: Friday, November 28, 2003 12:25 AM
Subject: Géométrie dans un cercle
> Salut,
>
> J'ai honte, mais j'ai un trou sur de la géométrie dans un cercle.
>
> Soit un cercle de rayon R de centre O et un point A situé à une distance
> d du centre (d < R). On fait partir un cône d'angle theta du point A
> tel que l'axe de symétrie du cône soit la droite (OA) et tel que O ne
> soit pas à l'intérieur du cône (le cône est donc le plus petit des 2
> possibles qui ont cet axe de symétrie). Peut-on connaître l'arc de
> cercle intercepté par le cône?
>
> J'aurais dit theta*(R-d)/R, mais j'ai tout à coup un doute.
>
> Merci de vos éclaircissements.
>
> --
> Nicolas
"Nicolas Le Roux" <nicolas@bisounours.net> a écrit dans le message de news: slrnbsd1vc.ngl.nicolas@zen.via.ecp.fr...
> Salut,
>
> J'ai honte, mais j'ai un trou sur de la géométrie dans un cercle.
>
> Soit un cercle de rayon R de centre O et un point A situé à une distance
> d du centre (d < R). On fait partir un cône d'angle theta du point A
> tel que l'axe de symétrie du cône soit la droite (OA) et tel que O ne
> soit pas à l'intérieur du cône (le cône est donc le plus petit des 2
> possibles qui ont cet axe de symétrie). Peut-on connaître l'arc de
> cercle intercepté par le cône?
>
> J'aurais dit theta*(R-d)/R, mais j'ai tout à coup un doute.
>
> Merci de vos éclaircissements.
>
> --
> Nicolas
Posted by: Nicolas Le Roux
Le Sat, 29 Nov 2003 15:42:41 +0100,
Nicolas Boutry <nicolas.boutry@epfl.ch> grava à la saucisse et au marteau:
> hello,
> je viens de faire ton ptit calcul (bien marrant ton exo au passage :),
Oh bah si tu veux le problème complet, je l'ai posté hier soir dans le
même thread.
> et j obtiens que l arc vaut : alpha/(2Pi)*r (si l arc est bien un segment
> courbe du cercle ... si c est le segment droit qui joint les deux points du
> cercle, alors c est : 2*r*sin(alpha/2) ... je les confonds toujours ... ;)
> avec alpha = theta +/- 2 ArcSin(d/r * sin (theta/2))
> (une seule des deux possibilites sera bonne bien sur ...)
Oui, il me semble que c'est la solution qu'a donnée Xavier, mise sous
forme explicite. Le seul souci, c'est que je sais pas intégrer le
produit de ça avec les autres termes de mon intégrale.
Merci quand même en tout cas.
> PS : tu bosses dans quoi au fait ?
Moi, je bossais jusqu'à hier dans un labo d'apprentissage statistique à
Montréal, mais ça, c'était pour un labo d'imagerie médicale.
--
Nicolas
Posted by: Xavier Caruso
Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51498), a
écrit :
> Non non, entre 0 et l'infini. Si tu veux, je vais recopier le problème
> initial, ptet que tu auras une idée que j'ai pas eue:
Ouais, moi, je ne l'aurais pas pris comme ça en effet, mais bon.
Donc, je commence par faire en dimension 2 et j'appelle A(x,y) le
point d'intersection des deux droites. Je vais ensuite intégrer le
long d'une demi-droite d'origine A ; je note u un vecteur directeur
(que je suppose unitaire) de cette demi-droite et j'intègre la fonction
r * exp (- ||A+ru||^2)
entre 0 et l'infini. En développant la norme, j'obtient un gentil truc
que maple sait intégrer en introduisante la fonction erf. Bref.
Ensuite, il me faut intégrer ça sur tous les u donnant une direction
dans le bon secteur angulaire. Si on dit que u = (cos(alpha),sin(alpha))
cela revient à intégrer par alpha variant dans un certain intervalle.
Yo. Là, pour le coup, je ne sais pas si c'est facile mais bon ;-).
Voilà, pour passer en dimension n, bah, je dirais qu'il suffit de regarder
le plan orthogonal à l'intersection des deux hyperplans définis... et en
fait tout se passe dans ce plan. On fait donc le calcul dans ce plan,
puis on termine en intégrant dans tous les autres directions de l'espace.
--
Xavier, qui n'ai pas fait les calculs et qui reste donc volontairement
très flou.