Géométrie affine

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Posted by: euclide

Bonjour, j'ai un problème sur l'exercice suivant pouvez-vous m'aider :

On considère un plan affine sur le corps \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}. Combien de point a-t-on ? de droites ? Combien chaque droite a-t-elle de points ? Montrer que par chaque point, il passe quatre droites et que pour une direction donnée, il y a trois parallèles à cette direction.

-> Pour le nombre de points je pense à 9 (ce sont les couples que l'on peut former avec les éléments de \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.

Mais pour le reste je bloque.


Posted by: yos

Tu peux raisonner sur les fonctions affines x\to ax+b, a et b non tous deux nuls. Ce qui peut faire 8 droites.

A la réflexion, a=b=0 me semble parfaitement autorisé.
9 droites.


Posted by: fahr451

bonjour

fais donc un tit carré de côté 3 et trace les droites y en a pas tant que ça (principe de dénombrement de delphine et marinette)


Posted by: yos

Mon truc colle pas : j'ai que trois droites par points. J'ai répondu un peu vite. Je regarde.


Posted by: yos

J'ai oublié les droites "verticales".
Hontamoi.


Posted by: fahr451

delphine et marinette en trouvent 20


Posted by: euclide

Avec le dessin je trouve aussi 20 droites mais pour certain points il y a plus que 4 droites qui passe par ce point. Et pour une direction donnée je ne trouve jamais trois parallèles. ???


Posted by: fahr451

ah lesquels ?


Posted by: euclide

par exemple les 5 droites suivantes passent par le point (0,2)

la droite passant par (0,2) et (0,1)
la droite passant par (0,2) et (1,1)
la droite passant par (0,2) et (1,2)
la droite passant par (0,2) et (1,0)
la droite passant par (0,2) et (2,1)


Posted by: fahr451

ah oui y a comme un défaut


Posted by: yos

Citation:
Posté par euclide
par exemple les 5 droites suivantes passent par le point (0,2)

la droite passant par (0,2) et (0,1)
la droite passant par (0,2) et (1,1)
la droite passant par (0,2) et (1,2)
la droite passant par (0,2) et (1,0)
la droite passant par (0,2) et (2,1)

Les deux dernières sont confondues.
Mon calcul marche bien : 12 droites dont 3 "verticales". Et la répartition demandée est respectée (3pts par droites, 4 dr par pt, 3 dr par direction).
(Z/3Z)² est un tore (et le tore tue) alors je me méfie des dessins.


Posted by: euclide

Oui c'est vrai je confirme


Posted by: fahr451

ah oui heureusement yos veillait :)










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