Forum de mathématiques
Recherche Messages du jour Marquer les forums comme lus
Rechercher sur Maths-Forum  
  Recherche avancée
  Maths-Forum > Forum Soutien scolaire en mathématiques > Forum Lycée
  Pseudo
  Mot de passe  Oublié?  S'inscrire »  
 
Outils de la discussion Rechercher Modes d'affichage
Vieux 09/11/2009, 17h12
Silvia90
Membre Naturel
 
Sur Maths-Forum depuis: décembre 2008
Messages: 9
Par défaut Formules trigonometriques+limite

Bonsoir! J'essaie depuis un bon moment de résoudre cet exercice, sans succès. J'ai la correction (pas très détaillée) mais je ne comprends quand même pas. Est-ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît?

\lim_{x \to 0} f(x)
f(x) étant:

\frac{sin^2(x^2)Arctg(1/x^4)}{(1-cos(x))^2}

Merci d'avance!
silvia


Silvia90 est déconnecté  
Vieux 09/11/2009, 20h43
mathelot
Membre Complexe
 
Sur Maths-Forum depuis: juin 2006
Messages: 3 930
Par défaut

Citation:
Posté par Silvia90
Bonsoir! J'essaie depuis un bon moment de résoudre cet exercice, sans succès. J'ai la correction (pas très détaillée) mais je ne comprends quand même pas. Est-ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît?

\lim_{x \to 0} f(x)
f(x) étant:

\frac{sin^2(x^2)Arctg(1/x^4)}{(1-cos(x))^2}

Merci d'avance!
silvia



Dans le calcul de limite, on peut remplacer par des équivalents:
sin^2(x^2) \sim (x^2)^2
(1-cos(x))^2 \sim (\frac{x^2}{2})^2

et arctan(x^{-4}) par la formule exacte \frac{\pi}{2}-arctan(x^4)
mathelot est déconnecté  
Vieux 10/11/2009, 13h44
Silvia90
Membre Naturel
 
Sur Maths-Forum depuis: décembre 2008
Messages: 9
Par défaut

En faisant comme cela je trouve bien 2\Pi

Mais dans les réponses du livre, la marche à suivre est plutôt celle-ci:4 \lim_{x \to 0}(\frac{sin x^2}{x^2})^2(\frac{x/2}{sinx/2})^4 arctg(1/x^4)= 2\Pi

Or je ne comprends pas comment ils ont fait?
Silvia90 est déconnecté  
Vieux 10/11/2009, 14h08
benekire2
Membre Complexe
 
Avatar de benekire2
 
Sur Maths-Forum depuis: avril 2009
Localisation: Grenoble
Messages: 4 662
Par défaut

Une question, en quelle classe est tu ?
benekire2 est déconnecté  
Vieux 10/11/2009, 14h51
Skullkid
Membre Complexe
 
Avatar de Skullkid
 
Sur Maths-Forum depuis: août 2007
Localisation: Stockholm
Messages: 2 718
Par défaut

Salut, ta démonstration est correcte (bien qu'il est inutile de modifier l'expression de l'arctan, vu que sa limite est directement calculable).

Visiblement la correction est destinée à des élèves qui n'ont pas étudié les équivalents, qui sont une notion "avancée" :

\frac{\sin^2 x^2 Arctan \frac{1}{x^4}}{(1-\cos x)^2} = \frac{\sin^2 x^2}{x^4} \frac{x^4}{(1-\cos x)^2} Arctan \frac{1}{x^4}

Et on peut conclure par les limites dites classiques (qui ne sont en fait rien d'autre que les équivalent de base) : sin x / x tend vers 1 en 0, et (1-cos x)/x² tend vers 1/2 en 0. (Dans ta correction, ils redémontrent cette deuxième limite classique en utilisant la formule 1 - cos x = 2 sin² (x/2))
Skullkid est déconnecté  
Vieux 10/11/2009, 17h29
Silvia90
Membre Naturel
 
Sur Maths-Forum depuis: décembre 2008
Messages: 9
Par défaut

Citation:
Posté par benekire2
Une question, en quelle classe est tu ?

En fait je n'habite pas en France... mais en Suisse. Je pense que mon niveau correspondrait à terminale scientifique.
Pourquoi la question?
Silvia90 est déconnecté  
Vieux 10/11/2009, 17h30
Timothé Lefebvre
Modérateur - Veilleur
 
Sur Maths-Forum depuis: décembre 2005
Messages: 13 163
Par défaut

Salut,

parce qu'il est jaloux qu'on ne voit pas ça au Lycée en France :P
Timothé Lefebvre est déconnecté  
Vieux 10/11/2009, 17h34
Silvia90
Membre Naturel
 
Sur Maths-Forum depuis: décembre 2008
Messages: 9
Par défaut

Citation:
Posté par Skullkid
Salut, ta démonstration est correcte (bien qu'il est inutile de modifier l'expression de l'arctan, vu que sa limite est directement calculable).

Visiblement la correction est destinée à des élèves qui n'ont pas étudié les équivalents, qui sont une notion "avancée" :

\frac{\sin^2 x^2 Arctan \frac{1}{x^4}}{(1-\cos x)^2} = \frac{\sin^2 x^2}{x^4} \frac{x^4}{(1-\cos x)^2} Arctan \frac{1}{x^4}

Et on peut conclure par les limites dites classiques (qui ne sont en fait rien d'autre que les équivalent de base) : sin x / x tend vers 1 en 0, et (1-cos x)/x² tend vers 1/2 en 0. (Dans ta correction, ils redémontrent cette deuxième limite classique en utilisant la formule 1 - cos x = 2 sin² (x/2))


Et bien je suis une élève qui n'a pas (encore ?) étudié les équivalents! (mais ils m'ont l'air bien pratiques)

J'ai justement essayé d'utiliser cette formule: 1 - cos x = 2 sin² (x/2)) mais je ne sais pas quoi faire du carré.

Bon je ne suis pas sure d'avoir assez d'éclaircissements pour comprendre la correction mais je vais essayer.

Merci!
Silvia90 est déconnecté  
Vieux 10/11/2009, 17h52
mathelot
Membre Complexe
 
Sur Maths-Forum depuis: juin 2006
Messages: 3 930
Par défaut

Bj,

redémontrons

sur le cercle trigonométrique d'origine A(1;0) , M(cos(x);sin(x))

pour 0<x<\frac{\pi}{2}

on obtient visuellement:

 0 \leq sin(x) \leq corde(AM) = \sqrt{2-2cos(x)} \leq x

d'où \lim_{x \rightarrow 0^+} \,  \frac{sin(x)}{x}=1

par composition avec la fonction carrée
\lim_{x \rightarrow 0^+} \,  \frac{sin^2(x)}{x^2}=1
par changement de variable bi-continu y=\frac{x}{2}:
\lim_{x \rightarrow 0^+} \,  \frac{4 sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}=1


etc..

Dernière modification par mathelot 10/11/2009 à 17h55.
mathelot est déconnecté  
Vieux 11/11/2009, 18h59
Silvia90
Membre Naturel
 
Sur Maths-Forum depuis: décembre 2008
Messages: 9
Par défaut

Je crois que cette fois c'est tout compris. Un grand merci pour votre aide!
Silvia90 est déconnecté  
Vieux 11/11/2009, 19h00
benekire2
Membre Complexe
 
Avatar de benekire2
 
Sur Maths-Forum depuis: avril 2009
Localisation: Grenoble
Messages: 4 662
Par défaut

Citation:
Posté par Timothé Lefebvre
Salut,

parce qu'il est jaloux qu'on ne voit pas ça au Lycée en France :P

Exactement !! C'est injuste, la France est minable la dessus.....
nous c'est sinx/x au maximum ...
benekire2 est déconnecté  
Vieux 11/11/2009, 20h13
Skullkid
Membre Complexe
 
Avatar de Skullkid
 
Sur Maths-Forum depuis: août 2007
Localisation: Stockholm
Messages: 2 718
Par défaut

Heu, en quoi c'est minable de ne pas apprendre des concepts trop tôt ? Bidouiller une expression et la transformer, c'est utile pour d'autres trucs que le calcul de limite, et je trouve ça bien qu'en France on nous entraîne - ou tout du moins on essaye de nous entraîner - à ça.

C'est sûr y pourraient nous enseigner la super règle de l'Hospital qui nous apporterait taaaant...

Et soit dit en passant, dire que sin x / x tend vers 1 en 0, c'est exactement la même chose que dire que sin x est équivalent à x en 0, la deuxième façon est juste plus pédante.
Skullkid est déconnecté  

Outils de la discussion Rechercher
Rechercher:

Recherche avancée
Modes d'affichage



Discussions similaires
Discussion Forum Réponses Dernier message
Limite de suite Forum Lycée 2 16/04/2010
Exercices à vérifier en vue d'un DS Forum Lycée 16 15/12/2009
Limite de fonction. Forum Lycée 10 05/09/2009
doute sur une limite Forum Lycée 16 09/11/2008
Exercice Limite / Asymptote Terminale ES Forum Lycée 6 04/11/2008
Ecrire des belles formules mathématiques - balises TEX Forum Lycée 0 08/10/2008
Limite Term S Forum Lycée 19 07/09/2008
Problème de limite Forum Lycée 18 06/09/2008
Sujet de bac sur les complexes-problème de limite avec de la trigonométrie HEPL SVP!! Forum Lycée 8 02/11/2007
Petite limite Forum Lycée 6 02/10/2007
limite limite limite Forum Lycée 1 15/09/2007
Limite de fonction . Forum Lycée 3 26/01/2007
Le papa noel il m'amène des math :d Forum Lycée 48 30/12/2006
Pièces à durée de vie limite Forum Lycée 0 22/03/2006
formules trigonométriques Forum Lycée 8 02/03/2006

Règles des messages du forum de mathématiques
Vous pouvez ouvrir de nouvelles discussions : nonoui
Vous pouvez envoyer des réponses : nonoui
Vous pouvez insérer des pièces jointes : nonoui
Vous pouvez modifier vos messages : nonoui

Les balises BB sont activées : oui
Les smileys sont activés : oui
La balise [IMG] est activée : oui
Le code HTML peut être employé : non


Forum de maths © 2003-2014 Maths-Forum. Tous droits réservés.
FAQ   Contact