formule d'intégration

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Posted by: ben83

bonjour,
j'ai l'enoncé d'un exercice et sa solution mais pas le dévelopement.
=> l'intégrale de e^(ax+b) = (e^(ax+b))/a + c
savez vous quelle formule d'intégration a été utilisée ?


Posted by: nekros

Salut,

Il suffit d'utiliser le fait que 4$(exp{u(x)})'=u'(x)exp{u(x)}

Ici, 4$u(x)=ax+b donc 4$u'(x)=a
En remarquant donc que 4$exp{ax+b}=\frac{a}{a}exp{ax+b}, l'intégration devient évidente.

Thomas G


Posted by: Nightmare

Bonjour

Deux solutions :

1)Si l'on sait que 3$\rm \Bigint f(x)dx=F(x)+C où F est une primitive de f :

On connait la formule de dérivation :
3$\rm (e^{u})'=u'.e^{u}

Or :
3$\rm e^{ax+b}=\frac{1}{a}\times ae^{ax+b}=\frac{1}{a}u'(x)e^{u(x)} où u(x)=ax+b

Par conséquent :

3$\rm \Bigint e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}e^{u(x)}=\frac{1}{a}e^{ax+b}

2) On revient à la définition de l'intégrale :

3$\rm \Bigint_{0}^{x} f(u)du=\lim_{n\infty} \frac{x}{n}\Bigsum_{k=1}^{n} f(\frac{kx}{n})

Avec 3$\rm h=\frac{x}{n} :
3$\rm \Bigint_{0}^{x} f(u)du=\lim_{n\to +\infty} h\Bigsum_{k=1}^{n} f(kh)

Or :
3$\rm f(kh)=e^{akh+b}=e^{b}e^{akh}

En sommant :
3$\rm \Bigsum_{k=1}^{n} f(kh)=e^{b}(e^{ah}+e^{2ah}+...+e^{nah})=e^{b}\time \frac{e^{nah}-1}{e^{ah}-1} (suite géométrique)
Ainsi :
3$\rm \Bigint_{0}^{x} f(u)du=\lim_{h\to 0} h\times e^{b}\times \frac{e^{nah}-1}{e^{ah}-1}=\lim_{h\to 0} (e^{ax+b}-e^{b})\times \frac{h}{e^{ah}-1}=\frac{1}{a}(e^{ax+b}-e^{b})




Posted by: ben83

merci beaucoup !


Posted by: nekros

Pour ma part de rien.
Nigthmare, jolie pour la deuxième solution.

Thomas G


Posted by: Nightmare

De rien ben83

Merci Nekros










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