Mathématiques - formule financiere pour calculer la durée d'un emprunt

formule financiere pour calculer la durée d'un emprunt
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Posted by: Non inscrit

Bonjour à tous,

je suis à la recherche de la formule mathématique permettant de calculer
la durée d'un emprunt avec pour variable le montant de l'emprunt, le taux et la mensualité.

Merci par avance

Posted by: mathador

Bonjour,
notons X le montant de l'emprunt, T le taux (1/2 pour un taux de 50%, 1 pour un taux de 100%...) et M la mensualité.
On doit naturellement payer X(1+T), il suffit de diviser par la mensualité pour retrouver le temps t, exprimé en mois.
On a donc t = $\frac{X(1+T)}{M}$ .
Je pense que cette formule est correcte
Bonne continuation

Posted by: PaTaPoOF

Ca ne sert à rien de poster le même message sur plusieurs forums (surtout que ta question n'a rien à voir avec le niveau supérieur...!)

Posted by: Non inscrit

Merci pour la réponse.

Cependant, après vérif (avec calculette financière), les résultats ne correspondent pas.

Posted by: Non inscrit

patapoof...toi tu portes bien ton nom. Si tu peux répondre à ma question ... toi homme superieur !

Posted by: mathador

C'est bien dommage ... pourtant, la formule donne bien un résultat homogène à un temps (la démonstration est triviale et laissée au lecteur :D )
Cela vient peut-être du taux, de la manière dont il est appliqué ... des élèves branchés économie pourraient peut-être trouver la faille.
Appel à témoins ! :)

Posted by: PaTaPoOF

Si je peux me permettre, la formule de Mathador est bonne et fonctionne.
Par exemple, un emprunt X=1000euros, avec un taux T de 25%, et des mensualités de 250euros.

Tu trouves $t=\frac{1000(1+0.25)}{250}$
Soit t=5 mois, ce qui est juste, puisque 5*250=1250euros soit le prix total du remboursement.

Posted by: Non inscrit

le départ de la formule serait :
avec K le capital emprunté,
E la mensualité
t le taux
n la durée

on a : E= K*t / [ 1- 1/ (1+t) puissance n]

Donc si on a E, K et t, comment trouve-t-on n ,.... là je sèche

Posted by: PaTaPoOF

Huhu, vous me flattez jeune homme. J'ai répondu sur l'autre topic, enfin j'ai surtout confirmé les dires de Mathador auxquels je n'ai pas grand chose à ajouter...

Posted by: PaTaPoOF

Citation:

Posté par Non inscrit

le départ de la formule serait :
avec K le capital emprunté,
E la mensualité
t le taux
n la durée

on a : E= K*t / [ 1- 1/ (1+t) puissance n]

Donc si on a E, K et t, comment trouve-t-on n ,.... là je sèche

Euh... est ce que tu pourrais détailler ton raisonnement, parce que je ne saisis pas du tout comment tu as trouvé ça.
Merci :)

Posted by: Non inscrit

si on prend des données réelles : prêt immobilier par exemple...
un capital de 120 000 €
des mensualités de 900 €
et un taux annuel de 4.5%ou 0.375 %/mois

avec une machine financière, on trouve : 186 mois

par la formule : 120000*(1+0.045)/900 = 139.33 ....

il y a quand même quasiment 4 ans d'écart...

Posted by: mathador

Je signale que j'ai fusionné les 2 conversations; il y a des messages qui peuvent faire doublon ... mais bon, ce sera plus facile à suivre !

Posted by: Non inscrit

je m'explique... il s'agit du calcul d'une échéance constante avec des intérêts calculés sur le capital restant du (donc dégressifs)

on sait q'un capital prété est égal à la somme actuelles des remboursements payés, actualisés au taux du prêt..... l'actualisation des échéances à la date de mise en place du prêt permet d'annuler l'effet intérêt et correspond au montant du prêt....

on a donc K égal à la valeur actuelle des n échéances (E) soit :
K = E /(1+t) + E/ (1+t) puissance 2 + ...+ E / (1+t) puissance n
c'est donc une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/(1+t)

d'où la formule décrite...

Posted by: PaTaPoOF

Citation:

Posté par Non inscrit

si on prend des données réelles : prêt immobilier par exemple...
un capital de 120 000 €
des mensualités de 900 €
et un taux annuel de 4.5%ou 0.375 %/mois

avec une machine financière, on trouve : 186 mois

par la formule : 120000*(1+0.045)/900 = 139.33 ....

il y a quand même quasiment 4 ans d'écart...

C'est parce que la formule qu'a donnée Mathador ne prend pas un taux annuel mais un taux "total" (j'ai un peu du mal à expliquer, j'ai pas fait ES :p). En gros tu prends ton emprunt, et tu ajoutes d'un coup tout ce que tu dois en plus en fonction du taux. Ce genre d'emprunt revient moins cher, et est donc remboursé plus vite, c'est pourquoi tu trouves une différence aussi importante.

Posted by: mathador

C'est bien cela, mais je ne sais pas s'il s'agit du système normal de comptage : d'après les calculatrices, non. L'autre formule semble plus prometteuse, donc ... mais "non inscrit" avoue bloquer pour trouver n ...
E= K*t / [ 1- 1/ (1+t) puissance n]
donc 1-1/(1+t)^n = Kt/E
1/(1+t)^n = 1 - Kt/E
(1+t)^n = 1/(1-Kt/E)
n ln(1+t) = ln(1/(1-Kt/E))
n ln(1+t) = - ln(1-Kt/E)
et finalement n = - $\frac{ln(1-Kt/E)}{ln(1+t)}$ sauf erreur de ma part (je laisse le soin aux autres de me corriger)

Posted by: PaTaPoOF

La résolution de Mathador pour trouver n est bonne, malheureusement, avec les données "réelles" de Non inscrit 1, on ne peut résoudre l'équation dans R puisqu'on tombe avec un ln(-49) quelque part... la formule donnée par Non inscrit 2 qui ne me convainc que peu semble donc douteuse...

Posted by: Non inscrit

Je suis novice en math....

peux-tu refaire avec mon exemple "cas réel" de prêt immobilier ?

parce que ^ et ln me sont inconnus : je ne sais pas le poser sur feuille de papier et résoudre mon équation... (c'est le problème quand on travaille depuis plusieurs années avec une calculatrice !)

merci encore pour votre aide à tous

Posted by: Non inscrit

Au fait .... tous les non inscrits ne font qu' 1....

Posted by: mathador

Je remplace les éléments de ma formule par les valeurs proposées antérieurement :
n = - $\frac{ln(1-120000*0,045/900)}{ln(1+900)}$
ce qui fait n = - ln(-6)/ln(901)
ln(-6) n'appartient pas à l'ensemble des réels ... ce qui est gênant !!!
Je me suis sans doute trompé dans ma résolution donc; il faut revoir ça ... je vais le faire sur papier pour mieux voir !!!

Posted by: mathador

Et je retrouve le même résultat ... le problème vient de Kt/E : il faudrait que ce soit strictement inférieur à 1 pour que tout fonctionne (qu'on n'ait pas le ln d'un négatif). Je ne vois pas d'autre méthode de résolution : soit la formule est fausse, soit il y a une autre méthode qui n'est pas à mon niveau, soit c'est insoluble (ce dont je doute fortement). Help, les gens ... ;)

Posted by: Non inscrit

Effectivment, je pense qu'il faut mettre un signe - devant K ou E, pour un résultat cohérent.

Merci pour ta persévérence.

Posted by: mathador

Le problème est qu'ajouter un - comme ça, sans raison, n'est pas très satisfaisant ... et les résultats demeurent stupides ! Je me permets de remettre en cause la formule ... affaire à suivre. Tout avis bienvenu (en même temps, c'est le principe d'un forum !!!)

Posted by: Non inscrit

1 ère precision : t = tx annuel/100

La soution est (+ financière que mathématique) :

n = (ln((12*E)/(12*E-t*K)))/(ln(1+t/12))

Dans la première formule indiquée t = Tx annuel / 100 / 12

Toutes ces formules fonctionnent, elles ont été vérifiées avec une calculette financière.

Posted by: mathador

Voilà qui conclut cette remarquable énigme ... une dernière précision toutefois pour notre ami financier : une calculatrice ne valide jamais une formule, tout au plus elle l'invalide... mais après recalcul avec les indications données, il semblerait qu'on retrouve la formule indiquée. Ils sont fous, les financiers !
Salutations, et revient quand tu veux sur le forum !

Posted by: moi-même

Citation:

Posté par mathador

Je remplace les éléments de ma formule par les valeurs proposées antérieurement :
n = - $\frac{ln(1-120000*0,045/900)}{ln(1+900)}$
ce qui fait n = - ln(-6)/ln(901)
ln(-6) n'appartient pas à l'ensemble des réels ... ce qui est gênant !!!
Je me suis sans doute trompé dans ma résolution donc; il faut revoir ça ... je vais le faire sur papier pour mieux voir !!!

Ta formule est correcte. Le problème c'est ton application numérique.
Pour t, tu dois prendre le taux proportionnel i.e 4,5%/12 = 0,375%.
Tu obtiendras donc :
n = - $\frac{ln(1-120000*(0,045/12)/900)}{ln(1+*(0,045/12))}$

Avec ces données je trouve n = 185.186.

Moi, je cherche une formule pour calculer le taux connaissant les autres données...

Posted by: Non inscrit

Citation:

Posté par moi-même

Moi, je cherche une formule pour calculer le taux connaissant les autres données...

A ma connaissance, je peux me tromper, pas de formule "directe", il est nécessaire de faire des calculs itératifs (calcul TEG taux effectif global et TAEG taux actuariel effectif global)

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Non inscrit

Permettez que je m'immisce...

La formule de "Non inscrit" (enchanté !) est parfaitement correcte et c'est la seule valable. C'est comme cela que calculent les banques, et les calculatrices financières (sauf que je ne me ferai jamais à leur jargon...).

Les banques calculent à partir d'un taux t par mois. Chaque mois, elle calculent les intérêts dus pour ce mois en multipliant la somme restant due par le taux t. Elles commencent par prélever ces intérêts de la mensualité, et ce qui en reste (de la mensualité) est considéré comme une diminution du capital restant dû. Si l'on respecte cette formule, au bout de n mois, la somme restant due devient zéro et le prêt est remboursé. Connaissant trois des quatre variables parmi E, K, t et n, il est trivial de trouver la quatrième lorsque ce n'est pas t. Par exemple, si l'on connaît K,t,E on peut trouver n (comme ci-dessus). Dans le cas où l'on connaît E, n et K et que l'on cherche t, on tombe sur une équation du n-ième degré, ce qui est gênant s'il s'agit d'un prêt sur vingt ans, car n=240 ! La seule manière que je connaisse est la suivante :

On part d'une première approximation t(0) de t, puis pour i=1, 2, 3,,,
on calcule t(i) = E/K*(1-(1+t(i-1))^(-n)), jusqu'à ce que l'on considère que t(i)=t(i-1)

Ça converge assez vite si n est grand (de l'ordre de 100 ou 200), en une dizaine d'itérations, plus lentement pour les prêts courts.

Il faut quand même bien choisir t(0), assez proche de la limite (inconnue mais devinée au mieux), sinon, ça peut diverger.

Il y a deux manières de démontrer cela : la simple (la mienne) et la compliquée (celle des banques). On tombe évidemment sur la même formule...La manière simple (la mienne) montre clairement qu'il s'agit d'intérêts capitalisés mois par mois, ce qui veut dire que le taux annuel vrai est (1+t)^12-1. Mais les banques trichent en prétendant que le taux annuel est t*12 : mais c'est rien que des mensonges... Il va de soi que toute personne affectée dans une banque à l'attribution de prêts aux clients est totalement incapable de comprendre quoi que ce soit à ce calcul et se retranchera toujours derrière son ordinateur, alors, qu'il est clair que le raisonnnement est accessible à un bachelier.

Le faux taux (12*t) prétendûment taux annuel est appelé "taux effectif global". Mais des directives européennes récentes (peut-être un ou deux ans) ont fait changer la règlementation, ce qui fait que désormais, pour les taux à long terme (genre pour les prêts immobiliers sur de nombreuses années), les banques seront tenues d'afficher le taux vrai (il paraît qu'il y a un nom pour cela mais je ne m'en souviens plus), soit (1+t)^12-1 et non le "taux effectif global" plus petit que le taux vrai (c'est pour cela que ça arrangeait les banques...). Ça vient de l'Europe, car figurez-vous que les banques étrangères ont utilisé de toute éternité le taux vrai, seules les banques françaises se permettaient d'afficher le taux effectif global, notoirement faux. Méfiez-vous cependant, car malheureusement, cette nouvelle règlementation ne s'applique pas au taux à court terme pour lesquels les banques continuent à être autorisées à tricher avec leurs clients...

Posted by: Non inscrit

Citation:

Posté par Chimerade

les banques seront tenues d'afficher le taux vrai (il paraît qu'il y a un nom pour cela mais je ne m'en souviens plus

Comme dit ci-dessus : TAEG Taux Actuariel Effectif Global (actuariel car respectant les règles actuarielles comme expliqué par Chimerade

Citation:

Posté par Chimerade

Dans le cas où l'on connaît E, n et K et que l'on cherche t, on tombe sur une équation du n-ième degré, ce qui est gênant s'il s'agit d'un prêt sur vingt ans, car n=240 ! La seule manière que je connaisse est la suivante :

On part d'une première approximation t(0) de t, puis pour i=1, 2, 3,,,
on calcule t(i) = E/K*(1-(1+t(i-1))^(-n)), jusqu'à ce que l'on considère que t(i)=t(i-1)

Ça converge assez vite si n est grand (de l'ordre de 100 ou 200), en une dizaine d'itérations, plus lentement pour les prêts courts.

Il faut quand même bien choisir t(0), assez proche de la limite (inconnue mais devinée au mieux), sinon, ça peut diverger.

Il y a deux manières de démontrer cela : la simple (la mienne) et la compliquée (celle des banques). On tombe évidemment sur la même formule...La manière simple (la mienne)

Heu .... simple je veux bien, mais sur des montants et des durées conséquentes, les erreurs, pardon les approximations, de calcul peuvent coûter cher à l'emprunteur (on comprend pourquoi) et, moins connu, au prêteur qui, si l'erreur de calcul est avéré et qu'elle est intentionnelle, peut sous un certains nombres de conditions être condamné à abandonner les intérêts !!!! L'emprunteur ne rembourse donc plus que le capital.
Ceci explique pourquoi les banques et organismes de crédit effectuent des calculs "compliqués" à plusieurs décimales dont les règles d'arrondi sont souvent déposées auprès de la Commission Bancaire et même de la DGI !!!

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Non inscrit

mais sur des montants et des durées conséquentes, les erreurs, pardon les approximations, de calcul peuvent coûter cher à l'emprunteur (on comprend pourquoi)

Non, je ne crois pas. Ce qui coûte cher à l’emprunteur, c’est la tricherie sur le taux. D’un autre côté, le calcul peut être fait sans difficulté avec 15 décimales exactes sans problème. Et vérifié, mois par mois en utilisant la méthode des banques : le client peut consulter son tableau d’amortissement et vérifier que chaque mois son intérêt est bien calculé par multiplication du capital restant dû par le taux mensuel t. À chaque étape, il n’y a qu’une multiplication et deux soustractions à faire. Le seul problème est que, pour des raisons évidentes, la mensualité doit être fixée à un nombre entier de centimes, d’où un arrondi obligatoire. Mais au pire, le client paie 240 fois 1 centime de trop, soit 2,40 euros, ce qui est relativement acceptable lorsqu’il s’agit de sommes de l’ordre de 50000 euros, par exemple.
Donc, plus les montants sont importants, plus l’erreur relative devient négligeable, car l’erreur absolue due aux arrondis est de l’ordre du centime multiplié par le nombre de mensualités.

Cela dit, il est vrai que les différences entre les plans d’amortissement qui sortaient de mon ordinateur et ceux que me remirent mes banques successives différaient souvent plutôt de quelques centimes (plus qu’un centimes mais moins de 3 centimes), sans que je puisse déterminer la cause réelle de ces différences ; mais il s’agissait toujours de différences de l’ordre de quelques centimes sur des sommes 100000 fois plus grandes ! À tort ou à raison, j’ai plutôt mis cela sur le dos de l’incompétence du programmeur ! Je ne connais rien de précis sur les fameuses règles d’arrondis, mais c’est toujours négligeable.

Posted by: amigo

Citation:

Posté par Non inscrit

Bonjour à tous,

je suis à la recherche de la formule mathématique permettant de calculer
la durée d'un emprunt avec pour variable le montant de l'emprunt, le taux et la mensualité.

Merci par avance

Vous savez parfois on complique les choses en multipliant les formules alors qu'à l'origine on trouve une ou deux formules principales sur base desquelles on pourrait calculer quoi que ce soit.

par exemple les mathématique financière se basent largement sur les deux formules suivantes:

http://bp3.blogger.com/_MEljqXySbuc...i%C3%A8re-1.PNG

n dans les formules représente la durée ou le nombre de périodes, pour en savoir d'avantage consulter des exemples pratiques de calcul d'emprunt sur base de formules mathématique

BàV

Posted by: Quidam

Ah ! Merci beaucoup !

Depuis trois ans, on s'inquiétait...