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Vieux 13/09/2010, 18h41
chelsea-asm
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Red face Formule explicite d'une suite (récurrence...)

Bonjour,
Je suis en Terminale S, et on commence à faire les raisonnements par récurrence.
On me donne la définition d'une suite par :
U_0 = 0
U_{n+1} = U_n + n

J'ai trouvé les 5 premiers termes, à savoir :
U_1 = 0<br />
U_2 = 1<br />
U_3 = 3<br />
U_4 = 6<br />
U_5 = 10

Je dois trouver une formule explicite, bien sûr, autre que U_{n+1} = U_n + n, pour faire un raisonnement par récurrence.
J'ai déjà fait des exercices du même genre mais là je bloque vraiment !
J'avais trouvé U_n = n^2 - n mais ça marche pas, je sais pas comment je me suis débrouillé.

Merci beaucoup !


chelsea-asm est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 18h54
Arnaud-29-31
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Bonjour,

Ici on ajoute n à U_{n} pour passer à U_{n+1}

Donc on a
U_1 = U_0 + 0
U_2 = U_1 + 1 = U_0 + 0 + 1
U_3 = U_2 + 2 = U_0 + 0 + 1 + 2
....
U_n = U_{n-1} + (n-1) = U_0 + 0 + 1 + 2 + ... + (n-1)

Ca doit pouvoir t'aider sur ce que vaut U_n
Arnaud-29-31 est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 19h06
chelsea-asm
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Hum... en gros il y a une histoire de factorielle là dedans ?
Ou une histoire avec genre "somme des termes allant de k=1 à (n-1) ?
chelsea-asm est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 19h08
Arnaud-29-31
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Les factoriels c'est avec des multiplication, la on reconnait la somme 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) : C'est la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1, qui fait l'objet d'une formule que tu connais bien sur par coeur :)
Arnaud-29-31 est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 19h14
chelsea-asm
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Oui désolé pour les factoriels.
Euh... Je sais pas si je me complique la vie, mais serait-ce cela la formule ?

U_n = \bigsum_{k=0}^{n-1} U_0 + k
chelsea-asm est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 19h16
Arnaud-29-31
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Y'a une formule qui exprime ce que vaut cette somme.
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Vieux 13/09/2010, 19h20
chelsea-asm
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Aïe ! Ben euh... faut que je réfléchisse...
C'est une formule bidon ?
chelsea-asm est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 19h24
Arnaud-29-31
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C'est dans le chapitre sur les suites.
Y'en a une pour la somme des termes d'une suite arithmétique et une autre pour les suites géométrique.

Elle se retrouve facilement si on ne la connait pas :
Si on note S ce que l'on cherche,

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-3) + (n-2) + (n-1)

Si j'écris la somme dans l'autre sens j'ai :
S = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 3 + 2 + 1

Et si je fais la somme j'ai donc
2S = n + n + ... + n

Et donc S = ??
Arnaud-29-31 est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 19h35
chelsea-asm
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Oups, j'ai le don de plus me souvenir des cours de l'an passé... Euh ben je vais manger pour pouvoir réfléchir le ventre plein et je reviens, merci beaucoup de m'aider !
chelsea-asm est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 19h38
chelsea-asm
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C'est la somme des n divisée par 2 ?
chelsea-asm est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 20h00
chelsea-asm
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Désolé de ne pas édit, on peut classer, j'ai trouvé !

U_n = n \frac{(n-1)}{2}

C'est bien ça ?
chelsea-asm est déconnecté  
Vieux 13/09/2010, 20h47
Arnaud-29-31
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Oui voila c'est ça.

Pour ne pas se tromper on retiens que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est égal au nombre de termes (ici n-1) multiplié par la moyenne des termes extrèmes (ici \frac{(n-1) + 1}{2})
Arnaud-29-31 est déconnecté  

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